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学案69正态分布
导学目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
自主梳理
1．正态分布密度曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态
分布密度曲线．
(2)正态分布密度曲线的特点
①曲线位于x轴________，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线________对称；
③曲线在________处达到峰值____________；
④曲线与x轴之间的面积为____；
⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布
越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a
则称随机变量X服从正态分布，记作________________．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ
②P(μ－2σ
③P(μ－3σ
自我检测
1．(2011·大连模拟)下列说法不．正确的是()
A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴
B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方
C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布
D．函数φ(x)＝12π22xe(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于()
A.15B.14C.13D.12
3．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等
于()
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
4．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝18π28xe，则ξ的期望
和标准差分别是()
A．0和8B．0和4
C．0和2D．0和2
5.
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(2011·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图
象如图所示，则有()
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
探究点一正态曲线的性质
例1
如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正
态总体随机变量的均值和方差．
变式迁移1若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
1
42π.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．
探究点二服从正态分布的概率计算
例2设X～N(5,1)，求P(6
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变式迁移2设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1
探究点三正态分布的应用
例3(2011·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～
N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
变式迁移3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同
学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？
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1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φμ，σ(x)＝12πσ222xue，x∈(－∞，
＋∞)．
2．正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于
直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ时达到峰值12πσ.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ
一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越
大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的
分布越集中．
3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取
区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为
它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这
就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行
产品质量检查和工艺生产过程控制．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)相应的曲线，则有()
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
2．(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ
等于()
A．1B．2C．3D．4
3．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
φ(x)＝12π·10·280200xe(x∈R)，则下列命题中不正确的是()
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
4．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)
等于()
A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585
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5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应
有57人的分数在下列哪个区间内？()
A．(90,110]B．(95,125]
C．(100,120]D．(105,115]
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.
设三个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)，N(μ2，σ22)(σ2>0)，N(μ3，σ23)(σ3>0)的密度函数图象如
图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排
列是________．
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率
为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
8．(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)
＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)设X～N(10,1)．
(1)证明：P(1
(2)设P(X≤2)＝a，求P(10
10．(12分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是
增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且φ(80)＝182π.
(1)求正态分布密度函数；
(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？
11．(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正
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态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
学案69正态分布
自主梳理
1．(1)12πσ222xe，x∈(－∞，＋∞)(2)①上方②x＝μ③x＝μ1σ2π④1⑤μ
⑥越小越大
2．(1)??
a
bφμ，σ(x)dxX～N(μ，σ2)280128xe
(2)①0.6826②0.9544③0.9974
自我检测
1．C
2．D[由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，
P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝12.]
3．C[
∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝12P(0<ξ<4)＝0.3.]
4．D[由φ(x)＝12πσ222xe＝18π28xe对照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝D?ξ?
＝2.]
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5．A[由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；
又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]
课堂活动区
例1解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析
式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值
有关．
解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ
＝20.
由12πσ＝12π，解得σ＝2.
于是正态分布密度曲线的解析式是
φμ，σ(x)＝12π2204xe，x∈(－∞，＋∞)．
均值和方差分别是20和2.
变式迁移1解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关
于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，
得σ＝4，
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝142π232xe，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4
＝P(μ－σ
例2解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正
态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
解由已知μ＝5，σ＝1.
∵P(4
P(3
∴P(3
＝0.9544－0.6826＝0.2718.
如图，由正态曲线的对称性可得
P(3
∴P(6
变式迁移2解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1
＝P(μ－σ
＝0.6826.
(2)∵P(3
∴P(3
＝12[P(1－4
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＝12[P(μ－2σ
＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
∴P(X≥5)＝12[1－P(－3
＝12[1－P(1－4
＝12[1－P(μ－2σ
＝12(1－0.9544)＝0.0228.
例3解题导引正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样
就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－
2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率
就是0.9544.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，
所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.
一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1
365(人)．
变式迁移3解∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.
这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人．
课后练习区
1．D[μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.]
2．B[∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ
∴3－c＝c－1，∴c＝2.]
3．B[μ＝80，故A正确；σ＝10，故D正确；
∵P(X>110)＝P(X>μ＋3σ)，
P(X<50)＝P(X<μ－3σ)，
∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正确.]
4．B[由于X服从正态分布N(3,1)，
故正态分布曲线的对称轴为X＝3.
所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝1－P?2≤X≤4?2＝0.1587.]
5．C[由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.954
4,0.9974.
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由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826≈41(人)，60×0.9544≈57(人)，
60×0.9974≈60(人)，
故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．]
6．μ2<μ1<μ3σ1<σ3<σ2
7．0.8
解析∵ξ服从正态分布(1，σ2)，
∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.
8．0.16
解析∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)
＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
9．(1)证明因为X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间[1,2]
和[18,19]关于直线x＝10对称，所以?21φμ，σ(x)dx＝?1918φμ，σ(x)dx，
即P(1
(6分)
(2)解P(10
＝P(X<10)－P(X≤2)＝12－a.(12分)
10．解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲
线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝
8.
故正态分布密度函数解析式是
φμ，σ(x)＝182π280128xe.(6分)
(2)由μ＝80，σ＝8，得
μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.6826.
因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.26%.(12分)
11．解(1)设参加竞赛的学生人数共n人．
则P(X≥90)＝13n，(2分)
而P(X≥90)＝1－P?30
＝1－P?60－30
(6分)
∴13n＝0.0013，n＝10000(人)．
∴参加竞赛的学生总数约有1万人．(7分)
(2)设受奖学生的分数线为x0，
则P(X≥x0)＝22810000＝0.0228，(9分)
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因为0.0228<0.5，
所以x0>60，所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)
＝1－P?|X－60|
所以P(|X－60|
所以x0－60＝20，即x0＝80(分)
∴受奖学生的分数线是80分．(14分)
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