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第十三章选修系列4
学案73几何证明选讲
(一)相似三角形的判定及有关性质
导学目标：1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形
的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．
自主梳理
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直
线上截得的线段也相等．
2．平行线分线段成比例定理
两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段__________．
推论1平行于三角形一边的直线截其他两边(或________________)，所得的对应线段
__________．
推论2平行于三角形的一边，并且和其他两边________的直线所截得的三角形的三边
与原三角形的三边对应________．
推论3三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．
3．相似三角形的判定
判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角
对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________的两个三角形相似．
判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应
成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且____________
相等的两个三角形相似．
判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边
对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例的两个三角形相似．
4．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
(2)相似三角形周长的比等于相似比；
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5．直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在____________与斜边的______，斜边上的
高的________等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．
自我检测
1．如果梯形的中位线的长为6cm，上底长为4cm，那么下底长为________cm.
2．如图，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，则下列四个结论正确的是(填序号)________．
①AFFD＝EDBC；②AFFD＝CDAD；③AFFD＝ADDC；④AFFD＝ABAE.
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3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝
________.
4．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，
则BD＝________cm.
第4题图第5题图
5．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝
12，则BE＝________.
探究点一确定线段的n等分点
例1已知线段PQ，在线段PQ上求作一点D，使PD∶DQ＝2∶1.
变式迁移1已知△ABC，D在AC上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB上找到一点E，
使得线段EC的中点在BD上．
探究点二平行线分线段成比例定理的应用
例2在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD＝CE，DE的延长线交BC
的延长线于点F.求证：DFEF＝ACAB.
变式迁移2如图，已知AB∥CD∥EF，AB＝a，CD＝b(0
求EF.
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探究点三相似三角形的判定及性质的应用
例3如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，过D与BC平行的直线交AB于点E，
∠ACE＝∠ABC，求证：AB·CE＝AC·DE.
变式迁移3如图，已知?ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、
F两点，证明AF·AD＝AG·BF.
1．用添加平行辅助线的方法构造使用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理
的条件．特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意对应线段，对应
边．
2．利用平行线等分线段定理将某线段任意等分，需要过线段的一个端点作辅助线，在
作图时要注意保留作图痕迹．
3．在证明两个或两个以上的比例式相等时，需要找第三个比例式与它们都相等，可考
虑利用平行线分线段成比例定理或推论，也可以考虑用线段替换及等比定理，由相等的
传递性得出结论．
4．判定两个三角形相似，根据题设条件选择使用三角形相似的判定定理．
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(满分：75分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)．
(1)ADDF＝CEBC；(2)ADBE＝BCAF；(3)CEDF＝ADBC；(4)AFDF＝BECE.
2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已知ADDB＝
2
3，则
S△ADE
S四边形BCED＝__________________________________________.
3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EFBC＋FGAD＝________.
4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比
为3∶2，则斜边上的中线的长为________．
5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O
的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC的
长为4，则EG＝________.
7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB
＝15，AF＝4，则DE＝________.
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8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQBC＝________.
二、解答题(共35分)
9．(11分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分
线，交AD于F，求证：DFAF＝AEEC.
10．(12分)如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、CM的延长线
分别交AC、AB于F、E.
求证：EF∥BC.
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11．(12分)(2010·苏州模拟)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，直线l
平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别相交于点M，N，R，S和P，
求证：PM·PN＝PR·PS.
学案73几何证明选讲
(一)相似三角形的判定及有关性质
自主梳理
2．成比例两边的延长线成比例相交成比例
3．相等夹角5.斜边上的射影乘积平方
自我检测
1．82.③
3.2133
解析由射影定理：CD2＝AD·BD.
∴AD＝43，∴AC＝CD2＋AD2＝4＋169＝2133.
4.359
解析∵ABAC＝BDDC＝54，∴BD＝359cm.
5．42
解析∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，
∴CD＝82.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，
∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝BECD，
∴BE＝AB·CDAD＝6×8212＝42.
课堂活动区
例1解题导引利用平行线等分线段定理可对线段任意等分，其作图步骤为：首先
作出辅助射线，然后在射线上依次截取任意相同长度的n条线段，最后过辅助线上的各等分
点作平行线，确定所求线段的n等分点．
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解在线段PQ上求作点D，使PD∶DQ＝2∶1，就是要作出线段PQ上靠近Q点的一
个三等分点，通过线段PQ的一个端点作辅助射线，并取线段的三等分点，利用平行线等分
线段定理确定D点的位置．
作法：①作射线PN.
②在射线PN上截取PB＝2a，BC＝a.
③连接CQ.
④过点B作CQ的平行线，交PQ于D.
∴点D即为所求的点．
变式迁移1
解假设能找到，如图，设EC交BD于点F，则F为EC的中点，
作EG∥AC交BD于G.
∵EG∥AC，EF＝FC，
∴△EGF≌△CDF，且EG＝DC，
∴EG綊12AD，△BEG∽△BAD，
∴BEBA＝EGAD＝12，∴E为AB的中点．
∴当E为AB的中点时，EC的中点在BD上．
例2解题导引证明线段成比例问题，一般有平行的条件可考虑用平行线分线段成
比例定理或推论，也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法．
证明作EG∥AB交BC于G，如图所示，
∵△CEG∽△CAB，
∴EGAB＝CEAC，即ACAB＝CEEG＝DBEG，
又∵DBEG＝DFEF，∴DFEF＝ACAB.
变式迁移2解如图，过点F作FH∥EC，分别交BA，DC的延长线于点G，H，由
EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG＝CH＝EF，FG＝AE，FH＝EC.从而FG∶FH＝AE∶EC
＝m∶n.
由BG∥DH，知BG∶DH＝FG∶FH＝m∶n.
设EF＝x，则得(x＋a)∶(x＋b)＝m∶n.
解得x＝mb－nan－m，
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即EF＝mb－nan－m.
例3解题导引有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，
也可利用相似三角形的判定和性质求解．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题
可起到事半功倍的效果．
证明方法一∵AB∥CD，
∴EACD＝AFCF，即EAAF＝CDCF.①
∵DE∥BC，
∴AFAC＝AEAB，即EAAF＝ABAC.②
由①②得CDCF＝ABAC，③
∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC，
∴△EFC∽△ECD.
∴CDCF＝DECE.④
由③④得ABAC＝DECE，
即AB·CE＝AC·DE.
方法二∵AB∥CD，DE∥BC，
∴BEDC是平行四边形．
∴DE＝BC.
∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，
∴△AEC∽△ACB.∴BCCE＝ABAC.
∴ABAC＝DECE，即AB·CE＝AC·DE.
变式迁移3证明因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥DC，AD∥BC.
所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.
所以△ABF∽△GDA.
从而有AFAG＝BFAD，即AF·AD＝AG·BF.
课后练习区
1．(4)
解析由平行线分线段成比例定理可知(4)正确．
2.421
解析由ADDB＝23知，ADAB＝25，S△ADES
△ABC
＝425，故S△ADES
四边形BCED
＝421.
3．1
解析∵EF∥BC，∴EFBC＝AFAC，
又∵FG∥AD，∴FGAD＝CFAC，
∴EFBC＋FGAD＝AFAC＋CFAC＝ACAC＝1.
4.562
解析设斜边上的两段的长分别为3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t，解
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得t＝6(t>0，舍去负根)，所以斜边的长为56，故斜边上的中线的长为562.
5．15
解析∵AD∥BC，∴OBOD＝BCAD＝2012＝53，∴OBBD＝58，
∵OE∥AD，∴OEAD＝OBBD＝58，
∴OE＝58AD＝58×12＝152，
同理可求得OF＝38BC＝38×20＝152，
∴EF＝OE＋OF＝15.
6．2
解析连接DE，因为AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形，则DE＝12AB＝BE＝DC.
又因为DG⊥CE于G，所以DG平分CE，故EG＝2.
7．6
解析设DE＝x，∵DE∥AC，
∴BE15＝xx＋4，解得BE＝15xx＋4.
∴BDDC＝BEEA＝BE15－BE＝x4.
又∵AD平分∠BAC，∴BDDC＝BAAC＝15x＋4＝x4，
解得x＝6.
8.14
解析连接DE，延长QP交AB于N，
则
?
??
NP＝12ED＝14BC，
NP＋PQ＝12BC.
得PQ＝14BC.
9．证明由三角形的内角平分线定理得，
在△ABD中，DFAF＝BDAB，①
在△ABC中，AEEC＝ABBC，②(3分)
在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，
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即BDAB＝ABBC.③(6分)
由①③得：DFAF＝ABBC，④(9分)
由②④得：DFAF＝AEEC.(11分)
10．证明延长AD至G，使DG＝MD，连接BG、CG.
∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四边形BGCM为平行四边形．(4分)
∴EC∥BG，FB∥CG，
∴AEAB＝AMAG，AFAC＝AMAG，
∴AEAB＝AFAC，(8分)
∴EF∥BC.(12分)
11．证明∵BO∥PM，
∴PMBO＝PAOA，(2分)
∵DO∥PS，
∴PSDO＝PAOA，∴PMBO＝PSDO.(4分)
即PMPS＝BODO，由BO∥PR
得PRBO＝PCCO.(6分)
由DO∥PN得PNOD＝PCCO.(8分)
∴PRBO＝PNDO，即PRPN＝BODO，
∴PRPN＝PMPS.∴PM·PN＝PR·PS.(12分)
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