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学案74几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系
导学目标：1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定
理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．
自主梳理
1．圆周角、弦切角及圆心角定理
(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半．
推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角
__________相等．
推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是
________(或__________)．
(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____．
(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数．
2．圆中比例线段有关定理
(1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积
相等．
(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的
两个交点的线段长的____________．
(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线
段长的积相等．
温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，
在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．
3．切线长定理
从________一点引圆的两条切线，__________相等．
4．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．
推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________．
(2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____．
推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点
________．
5．圆的切线的性质及判定定理
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．
推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点．
推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________．
(2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．
自我检测
1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB
为半径的圆与AC相切，则sinA＝________.
2．(2010·南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，
AB＝6，则AC长为________．
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3．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足
为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，
CD＝18，则AB＝________.
5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线
PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝43，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为
________.
探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定
例1如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝12CD.
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变式迁移1在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于
点N；若AC＝13AB，求证：BN＝3MN.
探究点二四点共圆的判定
例2如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点
F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．
变式迁移2如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于
B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A，P，O，M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
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探究点三与圆有关的比例线段的证明
例3如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别
与AB，AC相交于点D，E，求证：
(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB·EC.
变式迁移3(2010·全国)
如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
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1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等
角代换与传递．
2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公
共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角
是直角解决有关问题．
3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用
圆心角定理及其推论证明．
4．证明多点共圆的常用方法：
(1)证明几个点与某个定点距离相等；
(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；
(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．
5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，
找相似三角形，从而得到线段的比．
(满分：75分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分
别是E，F，则结论①AB＝CD，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④AD＝BC中，正确
的有________个．
2．(2010·湖南)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA
＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．
3．(2010·陕西)
如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆
与AB交于点D，则BDDA＝________.
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4．(2009·广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O
的面积为________．
5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点
B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.
6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝27，
AB＝3.则BD的长为________．
7．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，
且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
8．(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.
若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．
二、解答题(共35分)
9．(11分)如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC
相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.
10．(12分)(2009·江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.
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11．(12分)(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆
O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
学案74几何证明选讲
(二)直线与圆的位置关系
自主梳理
1．(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)一半
2.(1)圆相交弦两条线段长
(2)等比中项(3)割线3.圆外切线长4.(1)互补对角(2)对角互补圆内角的
对角共圆
5．(1)半径圆心切线切点圆心(2)外端垂直
自我检测
1.12
解析设切点为T，则DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，
∴∠A＝30°，sinA＝12.
2．23
解析连接CB，则∠DCA＝∠CBA，
又∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴ADAC＝ACAB.
∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12.
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∴AC＝23.
3.233
解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，
可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝3，OD＝
BD＝1，∴DF＝33，∴AF＝AD－DF＝233.
4．40
解析如图，连接BD，则BD⊥AC，由射影定理知，
AB2＝AD·AC＝32×50＝1600，故AB＝40.
5．430°
解析由切割线定理得PD2＝PE·PF，
∴PE＝PD
2
PF＝
16×3
12＝4，∴EF＝8，OD＝4.
又∵OD⊥PD，OD＝12PO，∠P＝30°，
∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°.
课堂活动区
例1解题导引(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等
量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)
的等量代换．
(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．
证明作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.
又OE⊥AB，O为AF的中点，
则OE＝12BF.
∵AC⊥BD，
∴∠DBC＋∠ACB＝90°，
又∵AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.
从而得OE＝12CD.
变式迁移1证明∵CM是∠ACB的平分线，
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∴ACAM＝BCBM，
即BC＝AC·BMAM，
又由割线定理得BM·BA＝BN·BC，
∴BN·AC·BMAM＝BM·BA，
又∵AC＝13AB，∴BN＝3AM，
∵在圆O内∠ACM＝∠MCN，
∴AM＝MN，∴BN＝3MN.
例2解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相
等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端
点连成的凸四边形对角互补．
证明连接EF，
因为EM是∠AEC的角平分线，
所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.
同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.
而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD
＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA)
＝360°－2(∠FEM＋∠EFM)
＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°，
即∠BCD与∠BAD互补．
所以四边形ABCD内接于圆．
变式迁移2(1)证明连接OP，OM，
因为AP与⊙O相切于点P，
所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°，
由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆．
(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，
所以∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部，
可知∠OPM＋∠APM＝90°，
所以∠OAM＋∠APM＝90°.
例3解题导引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形
中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．
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证明(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.
因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.
所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
(2)
??
??
?∠PCE＝∠PAD
∠CPE＝∠APD?△PCE∽△PAD?
EC
AD＝
PC
PA；
?????∠PEA＝∠PDB∠APE＝∠BPD?△PAE∽△PBD?AEDB＝PAPB.
又PA是切线，PBC是割线?PA2＝PB·PC?PAPB＝PCPA.
故ECAD＝AEDB，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.
变式迁移3证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.
课后练习区
1．4
解析∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，
故①②③成立，又由AB＝CD，得AD＝BC，∴④正确．
2．6
解析连接BT，由切割线定理，
得PT2＝PA·PB，
所以PB＝8，故AB＝6.
3.169
解析ADAC＝ACAB?AD3＝35?AD＝95?BD＝165(cm)，BDDA＝169.
4．8π
解析连接OA，OB，
∵∠BCA＝45°，
∴∠AOB＝90°.
设圆O的半径为R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.
∴圆O的面积为8π.
5.3
解析如图，依题意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60°，
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在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan60°＝23，
∴R＝3.
6．4
解析由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，
∴DB＝4.
7.72
解析设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a.
∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝12，
∴AF＝2，FB＝1，BE＝12，∴AE＝72.
又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝12×72＝74.
∴CE＝72.
8.66
解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD.∴PBPD＝PCPA＝BCAD.
∵PBPA＝12，PCPD＝13，∴BCAD＝66.
9.
解过B点作BE∥AC交圆于点E，连接AE，BO并延长交AE于F，
由题意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分)
又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，则AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，
(4分)
则AE∥BC，四边形ACBE为平行四边形．
∴BF⊥AE.又BC2＝CD×AC＝2，
∴BC＝2，BF＝AB2－AF2＝142.(8分)
设OF＝x，则
?
?
?x＋r＝142，
x2＋?22?2＝r2，
解得r＝2147.(11分)
10．证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分)
故A、B、C、D四点共圆，(5分)
从而∠CAB＝∠CDB.(7分)
再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，
因此∠DBA＝∠CDB，(10分)
所以AB∥CD.(12分)
11.
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证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与
圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．(5分)
从而∠ABD＝∠ACE＝π2.(7分)
所以BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r
2
＝r1r
2
.(10分)
所以AB∶AC为定值．(12分)
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