Gothedistance
压轴题目突破练——平面解析几何
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知两条直线l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在????0，π12内
变动时，a的取值范围是()
A．(0,1)B.????33，3
C.????33，1∪(1，3)D．(1，3)
答案C
解析直线l1的倾斜角为π4，依题意l2的倾斜角的取值范围为????π4－π12，π4∪????π4，π4＋π12，
即????π6，π4∪????π4，π3，从而l2的斜率a的取值范围为????33，1∪(1，3)．
2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径
r的取值范围是()
A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]
答案A
解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为|4×3－3×?－5?－2|42＋32＝5，所以当
半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上
有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y
－2＝0的距离等于1时，4
3．已知双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y
2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个
交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为()
A．y＝±3xB．y＝±33x
C．y＝±2xD．y＝±22x
答案A
解析设点P(x0，y0)．依题意得，焦点F(2,0)，
Gothedistance
??
??
?x0＋2＝5，
y20＝8x0，于是有x0＝3，y
2
0＝24；
??
??
?a2＋b2＝4，
9
a2－
24
b2＝1，
由此解得a2＝1，b2＝3，
因此该双曲线的渐近线方程是y＝±bax＝±3x.
4．已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：y
2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为
45
5，点
P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2
的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为()
A.y
2
2－
x2
3＝1B．y
2－x
2
4＝1
C.y
2
4－x
2＝1D.y
2
3－
x2
2＝1
答案C
解析由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，
双曲线C：y
2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0，
∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：y
2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为
45
5，
∴2aa2＋b2＝455，∴a＝2b.
∵P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，
∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝5，
∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1.
∴双曲线的方程为y
2
4－x
2＝1，故选C.
5．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两
点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()
A.53B.23C.23D.13
答案A
解析由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴|PF2||PF
1|
＝2，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
Gothedistance
∴|PF1|＝2a3，|PF2|＝4a3.
根据勾股定理得????2a32＋????4a32＝(2c)2，
所以离心率e＝ca＝53.
二、填空题
6．如果x
2
k－2＋
y2
1－k＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是
________．
答案(1，＋∞)
解析将原方程化成标准方程为y
2
k－1－
x2
k－2＝1.
由题意知k－1>0且k－2>0，解得k>2.
又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，
所以c>1，故半焦距c的取值范围是(1，＋∞)．
7．若点(3,1)是抛物线y2＝2px一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
答案2
解析设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则
??
??
?y21＝2px1
y22＝2px2，两式相减得，
y1－y2
x1－x2＝
2p
y1＋y2＝2.
又∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
8．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为
直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________．
答案23
解析由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股
定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB为直径的圆的半径为r，则|AB|＝
2r≥4，r≥2，且圆心到x轴的距离是r－1，所以在x轴上所截得的弦长为2r2－?r－1?2
＝22r－1≥23，即弦长的最小值是23.
三、解答题
9．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组
成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两
点A，B，且AP→＝2PB→.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
Gothedistance
解(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为y
2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)，
由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝2，
所以椭圆方程为y
2
4＋
x2
2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，
设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
即
??
??
?y2＋2x2＝4，
y＝kx＋m，消去y，得
(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，
由根与系数的关系，知
??
??
?x1＋x2＝－2mk2＋k2，
x1·x2＝m
2－4
2＋k2，
又AP→＝2PB→，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
所以－x1＝2x2.
则
??
??
?x1＋x2＝－x2，
x1x2＝－2x22，
所以m
2－4
2＋k2＝－2?
?
?
?2mk
2＋k2
2.
整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时等式不成立，
所以k2＝8－2m
2
9m2－4>0，得
4
9
2<4，此时Δ>0.
所以m的取值范围为????－2，－23∪????23，2.
10．已知中心在原点的椭圆C：x
2
a2＋
y2
b2＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，
△MOF1的面积为32.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB
为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，
Gothedistance
所以c＝3，b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为x
2
a2＋
y2
a2＋9＝1，
因为x>0，所以S△OMF1＝12×3×x＝32，解得x＝1.
故点M的坐标为(1,4)．因为点M(1,4)在椭圆上，所以1a2＋16a2＋9＝1，得a4－8a2－9＝0，
解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，
则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为x
2
9＋
y2
18＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y＝
4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)，
由
??
??
?y＝4x＋m，
x2
9＋
y2
18＝1，
消去y化简，得18x2＋8mx＋m2－18＝0.
进而得到x1＋x2＝－8m18，x1·x2＝m
2－18
18.
因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，
所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，
化简得m2<162，解得－92
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
所以OA→·OB→＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，
x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2
＝17?m
2－18?
18－
32m2
18＋m
2＝0.
解得m＝±102.由于±102∈(－92，92)，
所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为
y＝4x＋102或y＝4x－102.
B组专项能力提升
(时间：25分钟)
1．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()
A．1B．22C.7D．3
答案C
解析如图所示，
设直线上一点P，
Gothedistance
切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，
MQ为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝|PM|2－|MQ|2
＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到
圆心M的最小距离，
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝|3－0＋1|12＋?－1?2＝22.所以|PM|的最小值为22.
所以|PQ|＝|PM|2－1≥?22?2－1＝7.
2．在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割
线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的
坐标为()
A．(－2，－9)B．(0，－5)
C．(2，－9)D．(1，－6)
答案A
解析当x1＝－4时，y1＝11－4a；当x2＝2时，y2＝2a－1，所以割线的斜率k＝
11－4a－2a＋1
－4－2＝a－2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0，由y′＝2x＋a得切线斜率为
2x0＋a，∴2x0＋a＝a－2，∴x0＝－1.
∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a－4)，切线方程为y＋a＋4＝(a－2)(x＋1)，即(a
－2)x－y－6＝0.
圆5x2＋5y2＝36的圆心到切线的距离d＝6?a－2?2＋1.由题意得6?a－2?2＋1＝65，即(a
－2)2＋1＝5.又a≠0，
∴a＝4，此时，y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，
顶点坐标为(－2，－9)．
3．过椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y
轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
答案63
解析由题意知A点的坐标为(－a,0)，
设直线的方程为y＝x＋a，
∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为????－a2，a2，
Gothedistance
代入椭圆方程得a2＝3b2，∴2a2＝3c2，∴e＝63.
4．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最
小值为________．
答案92
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋4|BF|＝x1＋p2＋4????x2＋p2＝x1
＋12＋4????x2＋12＝x1＋4x2＋52，设直线AB的方程为ky＝x－12，联立抛物线方程得方程组
??
??
?ky＝x－12，
y2＝2x
消元整理得y2－2ky－1＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－1，又A，B
在抛物线上，代入方程得y21y22＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝14，因此根据基本不等式|AF|
＋4|BF|＝x1＋4x2＋52≥2x1×4x2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x1＝4x2时取得最小值92.
5．已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线
交于M，N两点，且满足OM→·ON→＝－3.
(1)求抛物线Ω的方程；
(2)若直线y＝x与抛物线Ω交于A，B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，
使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的
坐标；若不存在，请说明理由．
解(1)依题意，设抛物线Ω的方程为x2＝2py(p>0)，
则F(0，p2)，
由直线l的斜率存在，设为k，
得l的方程为y＝kx＋p2，
联立方程
??
??
?x2＝2py，
y＝kx＋p2，消去y并整理，
得x2－2pkx－p2＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，
又y1y2＝(kx1＋p2)(kx2＋p2)
＝k2x1x2＋12kp(x1＋x2)＋p
2
4
Gothedistance
＝k2·(－p2)＋12kp·2kp＋p
2
4＝
p2
4.
所以OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝－p2＋p
2
4＝－3，
因为p>0，解得p＝2，
故所求抛物线Ω的方程为x2＝4y.
(2)联立方程
??
??
?x2＝4y，
y＝x，可求得A(0,0)，B(4,4)，
假设抛物线Ω上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，t
2
4)(t≠0，t≠4)，使得经过
A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线，
令圆心为E(a，b)，则由
??
??
?|EA|＝|EB|，
|EA|＝|EC|，
得
??
??
?a2＋b2＝?a－4?2＋?b－4?2，
a2＋b2＝?a－t?2＋?b－t
2
4?
2，
即
??
??
?a＋b＝4，
4a＋tb＝2t＋t
3
8，
解得
?
?
?a＝－t2＋4t8，
b＝t
2＋4t＋32
8.
①
因为抛物线Ω在点C处的切线斜率k′＝y′|x＝t＝t2(t≠0，t≠4)，
又该切线与EC垂直，所以
b－t
2
4
a－t·
t
2＝－1，
即2a＋bt－2t－t
3
4＝0.②
将①代入②得，2(－t
2＋4t
8)＋t·
t2＋4t＋32
8－2t－
t3
4＝0，
即t3－2t2－8t＝0，因为t≠0，t≠4，解得t＝－2.
故存在点C且坐标为(－2,1)．
|
|
