第三讲二进制初步一．什么是二进位在现实生活和计数器中，如果表示数的“器件”只有两种状态，如电灯的“亮”与“灭”，开关的“开”与“关”。
一种状态表示数码0，另一种状态表示数码1，1+1应该等于2。因为没有数码2，只能向上一个数位进1，就是采用“满2进一”的原则，这
和十进制采用的“满十近一”的原则完全一样。1+1=10，10+1=11，11+1=100，100+1=101，101+1=110
，110+1=111，111+1=1000。可见二进制的10表示十进制的2，二进制的100表示十进制的4，二进制的1000表示十
进制的8，二进制的10000表示十进制的16。二进制同样是“位值制”。同一个数码1，再不同的数位上表示的数值是不同的。如1111
1，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八。第五位的1表示十六。用大家熟悉的十进制说
明这个二进制数的含义，有以下的关系式：(11111)二进制=1×24+1×23+1×22+1×21+1（十进制）二．二进制的四则运
算二进制的四则运算与十进制的四则运算的原理相同，所不同的是十进制有10个数码，“满十进一”，而二进制只有两个数码0和1，“满二近
一”。二进制的运算口诀更为简单。1．加法：二进制加法，再同一数位上只有四种情况：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1
0。只要按从低位到高位依次运算，“满二近一”，就很容易地完成加法运算。例1．二进制加法：（1）10110+1101；（2）1
110+101011。解：算式与十进制算式一样，把右边第一位对齐，依次相应位置对齐，每个数位满2向上一位进1。1110+
10101111100110110+1101100011所以101
10+1101=100011；1110+101011=111001。例2．二进制加法：（1）101+1101+1110；（2）1
01+(1101+1110)。解：（1）101+1101+1110=10010+1110=100000；（2）101+(1101
+1110)=101+11011=100000。所以二进制加法满足结合律。2．减法：二进制减法也与十进制减法相类似，先把数位对
齐，同一数位不够减时，从高位借1，原则是“借一当二”。例3．二进制减法：（1）110101–11110；解：1101
01–1111010111（2）10001–1011。10001–10
11110例4．二进制加减混合运算（1）110101+1101–11111；（2）101101–11011+11011
。解：（1）110101+1101–11111=1000010–11111=100011；（2）101101–11011+11
011=10010+11011=101101。3．乘法：二进制只有两个数码，乘法口诀也只有以下几条：0×0=0、0×1=0、1
×0=0、1×1=1。二进制乘法的写法也与十进制相同。例5．二进制乘法（1）1011×101；1011×101
10111011.110111解：所以1011×101=110111.（2）11001×1010
。11001×101011001011001.1111
1010所以11001×1010=11111010。例6．二进制运算：（1）(101+11)×1010；（2）101×
1010+11×1010。解：（1）(101+11)×1010=1000×1010=1010000；（2）101×1010+11
×1010=110010+11110=1010000。从上面运算看出二进制乘法满足对加法的分配律。三．二进制与十进制的互化通
常情况下，一个数不加说明，它是十进制数。如果不是十进制的数，就应该加以说明。一个二进制1011可以表示成1000(2)(在右下角
注明进位制)，为了强调说明一个数是十进制，也可以加上标注，如135(10)。1．二进制化为十进制二进制的意义已经知道利用这个关
系很容易把二进制的数化为十进制的数。例7．把二进制数化为十进制数（1）110101(2)；（2）1011001(2)。解：（1）
110101(2)=1×25+1×24+1×22+1=32+16+4+1=53；（2）1011001(2)=1×26+1×2
4+1×23+1=64+16+8+1=89。2．把十进制数化为二进制数例8．把下列十进制数化为二进制数：（1）139；解：（1）
2|139…12|69…12|34…02|17…12|8…02|4…02|2…01所以139=10001011
（2）把下列十进制数化为二进制数：（2）312。解：（2）312=256+56=256+32+24=256+32+16+8
=28+25+24+23，所以312=100111000(2)。四．二进制的简单应用例9．现有1克、2克、4克、8克、16克砝
码各一枚，问在天秤上能秤出多少种不同重量的物体？解：用枚举法可以讨论此题。1、2、3=1+2、4、5=4+1、6=4+
2、7=4+2+1、8、……、31=16+8+4+2+1。可以秤出31种不同的重量。用二进制来研究此问题，更简便。砝码
的重量正好是二进制的1(2)、10(2)、100(2)、1000(2)、10000(2)，所以从1到11111(2)=31(1
0)都可以表示出来。例10．说明2300–1能被7整除。7=8–1=1000(2)–1=111(2)，300÷3=100，所以23
00–1能被7整除。证法（2）：23=8=(7+1)，即23被7除余1，所以2300=(23)100被7除余1×1×1×…×
1=1，所以2300–1能被7整除。下课了！练习题把下列二进制数化为十进制数：（1）101001（2）；（2）11
01110（2）；（3）10011101(2)；（4）10101000(2).411101571682.把下列十进制数化
为二进制数：（1）317；（2）509；（3）256；（4）127。10011110111111110110000
000011111113.二进制数的加法：（1）11101+10011；（2）10011+11110101。1100001
000010004.二进制数的减法：（1）111011－101101；（2）1001101－10011.11101110105.二进制数的乘法：（1）10011×1101；（2）110101×1011.111101111001000111证明：2300–1==，所以是一个整数， |
|
