Gothedistance
专题集训·作业(五)
一、选择题
1．已知R是实数集，集合M＝{x|3x<1}，N＝{y|y＝t－2t－3，
t≥3}，则N∩?RM＝()
A．[2,3]B．[2，＋∞)
C．(－∞，2]D．[0,2]
答案A
解析M＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，令u＝t－3，则y＝u2－2u
＋3＝(u－1)2＋2，u≥0，从而y≥2，N＝[2，＋∞)，则N∩?RM＝[2,3]．
2．某校开设了9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课程由
于上课时间相同，所以每位学生至多选1门，学校规定每位学生选修
4门，则不同的选修方案共有()
A．15种B．60种
C．75种D．100种
答案C
解析由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的
4门全来自于除A，B，C外的6门课程，相应的不同选修方案有C46＝
15种；第二类是所选的4门中有且仅有1门来自于A，B，C，另3
门从除A，B，C外的6门课程中选择，相应的不同选修方案有C36C13＝
60种．由分类加法计数原理可得满足题意的选修方案总数是15＋60
＝75.
3．已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N)均在直线y－2＝k(x－5)上，
则数列{an}的前9项和S9等于()
A．18B．20
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C．22D．24
答案A
解析an－2＝k(n－5)，即an＝kn－5k＋2，根据等差数列的函数
特征知数列{an}是等差数列，又当n＝5时，a5＝2，所以S9＝9?a1＋a9?2
＝9a5＝18.
4．在Rt△ABC中，c为斜边长，a，b为两直角边长，若直线l：
ax＋by＋c＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝1相交，则直线l的斜率的
取值范围是()
A．(－2,0)B．(－12，0)
C．(－2，＋∞)D．(－12，＋∞)
答案A
解析∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离为d＝|a－2b＋c|a2＋b2
<1，∴(a－2b＋c)2
∵c>b，∴a－2b＋2c>0，∴a－2b<0，∴－2<－ab<0，故选A.
5.
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC
上一点，DC＝2BD，则AD
→
·BC
→
＝()
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A．－112B．－83
C．－75D．－27
答案B
解析由余弦定理，得cos∠BAC＝AB
2＋AC2－BC2
2·AB·AC，解得BC＝
7.又cosB＝AB
2＋BC2－AC2
2·AB·BC＝
AB2＋BD2－AD2
2·AB·BD，可得AD＝
13
3.又
AD
→
，BC
→
的夹角大小为∠ADB，cos∠ADB＝BD
2＋AD2－AB2
2·BD·AD＝
?73?2＋?133?2－22
2×73×133
＝－891，所以AD
→
·BC
→
＝AD·BC·cos∠ADB＝－83.
6．方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝xa?x＋2?有
唯一不动点，且x1＝2，xn＋1＝1
f?2x
n
?
(n∈N)，则log12(x2014－1)＝()
A．2014B．2013
C．1D．0
答案B
解析∵f(x)＝xa?x＋2?＝x，∴x[1－ax－2aa?x＋2?]＝0.又f(x)只有一个不
动点，且知为0，故1－2a＝0，∴a＝12，∴f(x)＝2xx＋2.xn＋1＝1
f?2x
n
?
＝
2＋2xn
4，即xn＋1＝
1
2xn＋
1
2，∴xn＋1－1＝
1
2(xn－1)，∴x2014－1＝(x1－1)·(
1
2)
2
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013＝(1
2)
2013，故log1
2(x2014－1)＝2013.
7．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当棱锥的体积最
大时，点S到平面ABCD的距离为()
A．1B.3
C．2D．3
答案C
解析设点S到平面ABCD的距离为h，底面对角线长为l，则
h2＋(l2)2＝(23)2，得l＝212－h2.所以底面边长a＝22l＝14－2h2，
故体积V＝13a2h＝13(24－2h2)h＝－23h3＋8h.令V′＝0，得－2h2＋8＝
0，解得h＝2或h＝－2(舍去)，经检验，当h＝2时，棱锥体积最大．
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A<0，|φ|<π2)的图像的相邻两对称
中心的距离为π，且f(x＋π2)＝f(－x)，则函数y＝f(π4－x)是()
A．偶函数且在x＝0处取得最大值
B．偶函数且在x＝0处取得最小值
C．奇函数且在x＝0处取得最大值
D．奇函数且在x＝0处取得最小值
答案B
解析因为函数f(x)的图像的两个相邻对称中心的距离为π，所
以T＝2πω＝2π，得ω＝1.又f(x＋π2)＝f(－x)，则f(x)的图像关于x＝π4对
称，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．即φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|<π2，所以φ
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＝π4，则f(x)＝Asin(x＋π4)，所以y＝f(π4－x)＝Asin(－x＋π2)＝Acosx.因为
A<0，y＝f(π4－x)是偶函数且在x＝0处取得最小值．
9．设变量x，y满足约束条件
??
??
?x－y＋1≥0，
a1x＋a2y－3≥0，
x≤3，
(其中a1，a2
是等比数列{an}的前两项，且a1a2>0)，若z＝3x－2y的最大值为9，
最小值为－2，则等比数列{an}的前n项和Sn为()
A.12(3n－1)B.13(3n－1)
C.13(2n－1)D.12(2n－1)
答案A
解析由于直线z＝3x－2y的斜率大于直线x－y＋1＝0的斜率，
且z＝3x－2y取最大值时在y轴上的截距最小，取最小值时在y轴上
的截距最大．
故在直线a1x＋a2y－3＝0与x＝3的交点处z取最大值9，在直线
x－y＋1＝0与a1x＋a2y－3＝0的交点处z取最小值－2(如图所示)，
解得两个交点的坐标分别是(3,0)和(0,1)，从而解得a1＝1，a2＝3.因此
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公比q＝3，Sn＝1－3
n
1－3＝
1
2(3
n－1)．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若2cos2A－B2
cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35，且a＝42，b＝5，则向量BA
→
在BC
→
方向上的投影为()
A.22B.32
C.52D.62
答案A
解析根据题意，得[1＋cos(A－B)]cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A
＋C)＝－35，所以cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－35，故cosA＝－35，
且A为钝角，sinA＝45.由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝22，故B＝π4.根
据余弦定理，得(42)2＝52＋c2－2×5c×(－35)，解得c＝1，所以向量
BA
→
在BC
→
方向上的投影为|BA
→
|cosB＝22.
11．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，
则这组数据的中位数和平均数分别是()
A．91.5和91.5B．91.5和92
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C．91和91.5D．92和92
答案A
解析将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故
中位数为91＋922＝91.5.
平均数为x＝91＋－4－2－1＋0＋1＋2＋3＋58＝91.5.
12．已知点A是y2＝4x的对称轴与准线的交点，点B是其焦点，
点P在该抛物线上，且满足|PA|＝m|PB|，当m取得最大值时，点P
恰在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的实轴长为()
A.2－1B．2(2－1)
C.2＋1D．2(2＋1)
答案B
解析设P(x，y)，可知A(－1,0)，B(1,0)，所以
m＝|PA||PB|＝?x＋1?
2＋y2
?x－1?2＋y2＝
?x＋1?2＋4x
?x－1?2＋4x＝
?x＋1?2＋4x
?x＋1?2＝
1＋4x?x＋1?2＝1＋4xx2＋2x＋1.当x＝0时，m＝1；当x>0时，m＝
1＋4xx2＋2x＋1＝1＋4
x＋1x＋2
≤1＋4
2x·1x＋2
＝2，即当
x＝1时，m有最大值2.所以P(1，±2)．由|AB|＝|PB|＝2，PB⊥AB，
知△PAB为等腰直角三角形，所以|PA|＝22.又点P在以A，B为焦
点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a＝|PA|－|PB|＝22－2.
二、填空题
13．已知过点(2,5)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相切，
设直线l的倾斜角为θ，则cos2θ的值为________．
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答案－12
解析由题意知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y
－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，因为直线l与圆C：(x－2)2＋(y
－3)2＝1相切，所以圆心(2,3)到直线l的距离d＝|2k－3－2k＋5|k2＋1＝1，
解得k2＝3，所以k＝±3，所以tanθ＝±3，则θ＝π3或2π3，所以2θ
＝2π3或4π3，cos2θ＝－12.
14．过抛物线y2＝4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－
4x＋43y＝0截得的弦长为________．
答案37
解析由题意得，过抛物线焦点且倾斜角为60°的直线方程为y
＝3(x－1)，即3x－y－3＝0，圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋23)2
＝16，因此圆心(2，－23)到直线3x－y－3＝0的距离d＝
|23＋23－3|
2＝
33
2.故所求弦长为216－?
33
2?
2＝37.
15．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)，且f′(0)＝4，
则a2＋2b2的最小值为________．
答案82
解析f′(x)＝(x－a)(x－b)＋x[(x－a)(x－b)]′，f′(0)＝ab＝4，
a2＋2b2≥22ab＝82.当且仅当a＝2b时等号成立．
16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是
单调递增函数，如果实数t满足f(lnt)＋f(ln1t)≤2f(1)，那么t的取值范
围是________．
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答案[1e，e]
解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(lnt)＋f(ln1t)＝f(lnt)＋f(－lnt)＝f(lnt)＋f(lnt)＝2f(lnt)≤2f(1)，即
f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，∴函数
f(x)在区间(－∞，0]上是单调递减函数，∴－1≤lnt≤1，解得1e≤t≤e.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1
＋tanAtanB＝2cb，b＋c＝4，则△ABC面积的最大值为________．
答案3
解析由正弦定理，可得1＋tanAtanB＝2cb＝2sinCsinB，即1＋sinAcosBsinBcosA＝
2sinC
sinB，整理得sinBcosA＋sinAcosB＝2sinC·cosA，即sin(A＋B)＝
2sinCcosA.又A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC.故由上式，可得cosA
＝12.又A∈(0，π)，所以A＝π3.所以S△ABC＝12bcsinA≤12sinπ3·(b＋c2)2＝12
×32×4＝3.
18．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线2y2－2x2＝1的一
个焦点重合，若过该抛物线上一点B的切线与两坐标轴围成的三角形
的面积等于12，则点B的纵坐标为________．
答案1
解析易知抛物线的方程为x2＝4y，即y＝14x2，y′＝12x，设B(x1，
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y1)，所以过点B的切线的斜率为k＝12x1，切线方程为y－y1＝12x1(x－
x1)，令x＝0，得y＝－12x21＋y1，令y＝0，得x＝－2y1x
1
＋x1.因为点B
在x2＝4y上，所以y1＝14x21.故y＝－14x21，x＝12x1.所以切线与两坐标轴
围成的三角形的面积为S＝12|x|·|y|＝12|－14x21|·|12x1|＝116|x31|.因为S＝12，即
1
16|x
3
1|＝
1
2，得|x1|＝2，所以点B的纵坐标为1.
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