Gothedistance
专题集训·作业(六)
一、选择题
1．(2014·湖北八市联考)已知M＝{(x，y)|y－3x－2＝3}，N＝{(x，y)|ax
＋2y＋a＝0}，且M∩N＝?，则a＝()
A．－6或－2B．－6
C．2或－6D．－2
答案A
解析注意到可将式子y－3x－2＝3变形为3x－y－3＝0，则M∩N
＝?意味着直线3x－y－3＝0(去掉点(2,3))与直线ax＋2y＋a＝0无公
共点．若两直线平行，则3a＝－12≠－3a，即a＝－6；若直线ax＋2y
＋a＝0恰过点(2,3)，则a＝－2，故选A.
2．(2014·武汉部分学校调研)给定两个命题p，q.若綈p是q的必
要而不充分条件，则p是綈q的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析依题意，若綈p则q是假命题，若q则綈p是真命题，所
以若綈q则p是假命题，若p则綈q是真命题，故p是綈q的充分而
不必要条件．
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3．已知抛物线y2＝2px的焦点为F(－3,0)，准线与x轴的交点为
K，若抛物线上一点A满足|AK|＝2|AF|，则点A的横坐标为()
A．－3B．3
C．6D．－6
答案A
解析由于抛物线y2＝2px的焦点为(－3,0)，所以p2＝－3，即p
＝－6，即y2＝－12x，准线方程为x＝3.过点A作准线的垂线，垂足
为M，则|AK|＝2|AF|＝2|AM|，即|KM|＝|AM|.设A(x，y)，则|y|＝－
(x－3)，将其代入y2＝－12x，解得x＝－3.
4．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面
内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范
围是()
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞)
D．[－3,3)
答案B
解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，m1≠2m－33，
得m≠－3，故选B.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(a－c)(sinA
＋sinC)＝(b－c)sinB，则角A的大小为()
A.π6B.π4
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C.π3D.2π3
答案C
解析由已知得a－cb－c＝sinBsinA＋sinC，结合正弦定理，得a－cb－c＝
b
a＋c，即b
2＋c2－a2＝bc.再由余弦定理，可得cosA＝b
2＋c2－a2
2bc＝
1
2，
所以A＝π3.
6．(2014·十堰市五校联考)已知函数f(x)＝lnx－14ax2－x，若在区
间(1,2)内任意两个实数p，q(p≠q)，不等式f?p?－f?q?p－q>0恒成立，则实
数a的取值范围为()
A．(－∞，2]B．(－∞，－12]
C．(－∞，0]D．[12，＋∞)
答案B
解析任意实数p，q∈(1,2)且p≠q，有f?p?－f?q?p－q>0恒成立，等
价于当x∈(1,2)时，f′(x)>0恒成立，即f′(x)＝1x－12ax－1>0恒成立，
由此得a<2x2－2x在x∈(1,2)时恒成立．记g(x)＝2x2－2x＝2(1x－12)2－12，
当1x∈(12，1)时，－12
7．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)
＝2x的图像交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是()
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A．1B．2
C．3D．4
答案D
解析由题意知，P，Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)
为第一象限内的点，则m>0，n>0，n＝2m，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2
＋n2)＝4(m2＋4m2)≥16(当且仅当m2＝4m2，即m＝2时取等号)，故线
段PQ长的最小值是4.
8．(2014·九江六校联考)在平面直角坐标系xOy中，A(－4，0)，
B(0，－3)，点Q为曲线C：y＝2－4－x2上一点，若点P满足OP
→
＝
λOA
→
＋μOB
→
(其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1)，则|PQ|的最小值是()
A．4B.145
C.125D．2
答案D
解析因为点P满足OP
→
＝λOA
→
＋μOB
→
(其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1)，
所以BP
→
＝λBA
→
，所以点P在直线AB上．因为A(－4,0)，B(0，－3)，
所以直线AB的方程为3x＋4y＋12＝0.又由y＝2－4－x2变形得x2
＋(y－2)2＝4(0≤y≤2)，故曲线C是以M(0,2)为圆心，2为半径的半
圆，而点M到直线AB的距离为|0＋4×2＋12|32＋42＝4>2，即直线AB与
半圆x2＋(y－2)2＝4(0≤y≤2)相离，|PQ|的最小值为圆心到直线AB的
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距离减去半径，故|PQ|的最小值是4－2＝2.
9．设有4个数的数列a1，a2，a3，a4，前3个数构成一个等比数
列，其和为k，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零，
对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足()
A．k>94B．k<94
C．k＝94D．k≥94
答案A
解析因为后3个数成等差数列且和为9，故可依次设后3个数
为3－d,3,3＋d.又前3个数构成等比数列，则第一个数为?3－d?
2
3，即
?3－d?2
3＋3－d＋3＝k，化简得d
2－9d＋27－3k＝0，因为满足条件的
数列的个数大于1，需要Δ>0，所以k>94，故选A.
10．(2014·南昌一模)已知定义在区间[－3,3]上的函数y＝f(x)满足
f(－x)＋f(x)＝0，对于函数y＝f(x)的图像上任意两点(x1，f(x1))，(x2，
f(x2))都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.若实数a，b满足f(a2－2a)＋f(2b－
b2)≤0，则点(a，b)所在区域的面积为()
A．8B．4
C．2D．1
答案A
解析由f(－x)＋f(x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．所以由f(a2－2a)＋
f(2b－b2)≤0，得f(a2－2a)≤－f(2b－b2)＝f(b2－2b)．又(x1－x2)·[f(x1)
－f(x2)]<0，所以定义在区间[－3,3]上的函数y＝f(x)是减函数，所以
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??
??
?－3≤a2－2a≤3，
－3≤b2－2b≤3，
a2－2a≥b2－2b，
即
??
??
?－1≤a≤3，
－1≤b≤3，
?a－b??a＋b－2?≥0.
其表示的平面区域如图阴影部分所示．
故点(a，b)所在区域的面积S＝12(4×4)＝8.
11．(2014·烟台模拟)对于定义域为I的函数y＝f(x)，如果存在区
间[m，n]?I，同时满足：①f(x)在[m，n]上是单调函数；②当定义域
是[m，n]，f(x)值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y＝f(x)的“好区
间”．已知函数P(x)＝?t
2＋t?x－1
t2x(t∈R，t≠0)有“好区间”[m，n]，
则当t变化时，n－m的最大值是()
A.233B.33
C.12D.14
答案A
解析因为P(x)有“好区间”，所以[m，n]?(－∞，0)或[m，n]
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?(0，＋∞)，P(x)＝?t
2＋t?x－1
t2x＝
t＋1
t－
1
t2x在(0，＋∞)和(－∞，0)上
是单调递增的，因此
??
??
?P?m?＝m，
P?n?＝n，即m，n是P(x)＝x的两个不同的
根，即方程t2x2－(t2＋t)x＋1＝0有两个同号的不等实数根，m＋n＝
t2＋t
t2＝1＋
1
t，mn＝
1
t2>0，Δ＝(t
2＋t)2－4t2>0，所以t>1或t<－3.
n－m＝?n＋m?2－4nm＝－3?1t－13?2＋43，当t＝3时，n－m取
最大值233.
二、填空题
12．已知体积为3的正三棱锥V－ABC的外接球的球心为O，
满足OA
→
＋OB
→
＋OC
→
＝0，则三棱锥外接球的体积为________．
答案163π
解析由OA
→
＋OB
→
＋OC
→
＝0，可知球心O是正三棱锥的底面中心，
设正三棱锥的底面边长为a，则VV－ABC＝13×34a2×33a＝3，所以
a3＝123，所以球的体积为43π×(33a)3＝163π.
13．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝35，则sin(α－π12)＝________.
答案210
解析∵α为锐角，∴α＋π6∈(π6，2π3)，∴sin(α＋π6)＝
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1－cos2?α＋π6?＝45.
∴sin(α－π12)＝sin[(α＋π6)－π4]＝sin(α＋π6)cosπ4－cos(α＋π6)sinπ4＝45
×22－35×22＝210.
14．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－1a
n＋1
，记Sn为数列{an}
的前n项和，则S2014＝________.
答案－20112
解析a1＝1，a2＝－11＋1＝－12，a3＝－1
－12＋1
＝－2，a4＝－
1
－2＋1＝1，…，数列{an}是周期为3的周期数列，∴S2014＝S2013＋
a2014＝671×(－12－2＋1)＋1＝－20112.
15．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则BB1
与平面ACD1所成角的余弦值为________．
答案223
解析
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因为BB1∥DD1，所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1
所成角的大小相等，作DO⊥平面ACD1于点O，连接OD1，由等体
积法得VD－ACD1＝VD1－ACD，即13S△ACD1·DO＝13S△ACD·DD1.设AB
＝a，则S△ACD1＝12AC·AD21－?12AC?2＝12×2a×322a＝32a2，S△ACD
＝12AD·CD＝12a2.
所以DO＝S△ACD·DD1S△ACD
1
＝23a，记DD1与平面ACD1所成角的大小为
θ，则sinθ＝DODD
1
＝13，所以cosθ＝223.
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15
＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半
径的圆与圆C有公共点，则k的最小值是________．
答案－43
解析由题意得圆C的方程为(x－4)2＋y2＝1，则圆心C(4,0)．设
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直线y＝kx＋2上存在一点P，两圆的公共交点为Q，则由题意得|CQ|
＋|PQ|≥|CP|，即|CP|≤2.故问题可转化为(x－4)2＋y2＝4与y＝kx＋2
的交点问题．
方法一联立方程
??
??
?y＝kx＋2，
?x－4?2＋y2＝4，得(k
2＋1)x2＋(4k－8)x＋16
＝0，所以Δ＝(4k－8)2－16×4(k2＋1)≥0，解得－43≤k≤0，所以k
的最小值是－43.
方法二由点(4,0)到直线的距离公式，得|4k＋2|k2＋1≤2.所以－43
≤k≤0，所以k的最小值是－43.
17．设点A1，A2分别为椭圆C：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，
若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P，使得PO⊥PA2，其中点O为
坐标原点，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．
答案(22，1)
解析由题设知∠OPA2＝90°，设P(x0，y0)(x0>0)，以OA2为直径
的圆的方程为(x－a2)2＋y2＝a
2
4，与椭圆C的方程联立，得(1－
b2
a2)x
2－
ax＋b2＝0，易知，此方程的1个实根为a，且由题设知，此方程在区
间(0，a)上还有1个实根为x0，由根与系数的关系，得ax0＝b
2
1－b
2
a2
.由
此得0
2
a?1－b
2
a2?
2－c2
c2<1，即0<
1－e2
e2<1，得
1
2
2<1，
Gothedistance
故e的取值范围是(22，1)．
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