Gothedistance
专题集训·作业(七)
一、选择题
1．(2014·青岛自评)曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为
()
A．x－y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0D．x＋y＋2＝0
答案A
解析方法一因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(1)＝1.又f(1)＝－
1，所以切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
方法二特殊点法：将(1，－1)代入知选A.
2．(2014·临沂模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则“f(x)
与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析若f(x)与g(x)都为增函数，根据单调性的定义易知f(x)＋g(x)
为增函数；反之f(x)＋g(x)为增函数时，例如f(x)＝－x，g(x)＝2x，f(x)
＋g(x)＝x为增函数，但f(x)为减函数，g(x)为增函数，故“f(x)与g(x)
都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的充分不必要条件．
3．函数y＝lnsinx(0
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答案C
解析用特殖值法，依题意，当x＝π2时，y＝0；当x＝π6时，sinπ6
＝12，y＝ln12<0；当x＝5π6时，sin5π6＝12，y＝ln12<0，故选C.
4．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像向左平移π2个单位，
所得函数的图像与函数y＝f(x)的图像关于x轴对称，则ω的值不可
能是()
A．2B．4
C．6D．10
答案B
解析分别令ω＝2,4,6,10，当ω＝4时，f(x)的图像向左平移π2个
单位后，所得图像对应的函数表达式为Asin[4(x＋π2)＋φ]＝Asin(4x＋φ)
＝f(x)，函数的平移前后不变，不满足题意，所以选B.
5．若对任意的实数x，y，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且
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x>0时，f(x)>0，则()
A．f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减
B．f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增
C．f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递减
D．f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增
答案D
解析方法一f(0)＝2f(0)?f(0)＝0，所以0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)
＋f(－x)?f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数；设x1
f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)>0，即f(x)为增函数．
方法二特殊函数法，令f(x)＝x，知选D.
探究本题考查函数的奇偶性与单调性．求出0＝f(0)＝f(x－x)
?f(－x)＝－f(x)，再由x2>x1，f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，得出结论．抽
象函数中合理赋值很关键，要通过本题的学习注重体会，同时本题也
可以大胆赋特殊值去猜想结论．
6．设数列{xn}满足x1>0，xn＋1＝3?1＋xn?3＋x
n
，n＝1,2,3，…，那么()
A．数列{xn}是单调递增数列
B．数列{xn}是单调递减数列
C．数列{xn}或是单调递增数列，或是单调递减数列
D．数列{xn}既非单调递增数列，也非单调递减数列
答案D
解析由于xn＋1－xn＝3?1＋xn?3＋x
n
－xn＝3－x
2
n
3＋xn，令xn＋1－xn＝0，得
xn＝3，所以当x1＝3时，数列{xn}既不是单调递增数列，也不是单
调递减数列，故选D.
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7．已知实数a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则a，b，c的大小关
系是()
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>c>aD．b>a>c
答案D
解析显然易知b>a，又c＝5－12＝15<12，a＝log32>log33＝12.
所以b>a>c.
8．在(2x＋x)n的展开式中，各项系数之和为M，各二项式系数
之和为N，且8M＝27N，则展开式中的常数项为()
A．6B．7
C．8D．9
答案A
解析因为当x＝1时，(2x＋x)n＝3n，所以各项系数之和为3n，
M＝3n；因为展开式的各二项式系数之和为2n，所以N＝2n.因为8×3n
＝27×2n，(23)n＝827，所以n＝3.常数项为C23(2x)(x)2＝6，故选A.
9．已知约束条件
??
??
?x－2y＋1≤0，
ax－y≥0，
x≤1
表示的平面区域为D，若区
域D内至少有一个点在函数y＝ex的图像上，则实数a的取值范围为
()
A．[e,4)B．[e，＋∞)
C．[1,3)D．[2，＋∞)
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答案B
解析
由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC的内部及边界部分所
示，其中直线y＝ax随a的变化绕原点旋转，函数y＝ex在x＝1处与
该线相切，由y′|x＝1＝ex|x＝1＝e，知此时切线的斜率kOB＝e，若区域
D内至少有一个点在函数y＝ex的图像上，则实数a≥e，故选B.
10．已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数
M使不等式1a＋1b＋1c≥Ma＋b＋c恒成立，则实数M的最大值是()
A．6＋23B．5＋32
C．4＋22D．9
答案B
解析方法一设ac＝sinα，则bc＝cosα，则(1a＋1b＋1c)(a＋b＋c)＝
3＋1＋?sinα＋cosα??1＋sinαcosα?sinαcosα①，
设t＝sinα＋cosα，则1
2－1
2，代入①得(
1
a＋
1
b
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＋1c)(a＋b＋c)＝4＋(t－1)＋2t－1.而f(x)＝x＋2x在0
递减，故(1a＋1b＋1c)(a＋b＋c)＝4＋(t－1)＋2t－1≥5＋32，故实数M
的最大值是5＋32.
方法二特例法：∵c＝a2＋b2，∴(1a＋1b＋1c)·(a＋b＋c)为轮称
式，令a＝b得(1a＋1b＋1c)·(a＋b＋c)＝5＋32，故选B.
11．定义在实数集R上的函数y＝f(x)的图像是连续不断的，若
对任意的实数x，存在常数t使得f(t＋x)＝－tf(x)恒成立，则称f(x)是
一个“关于t函数”．下列“关于t函数”的结论正确的是()
A．f(x)＝0是常数函数中唯一一个“关于t函数”
B．f(x)＝x2是一个“关于t函数”
C．f(x)＝sinπx不是一个“关于t函数”
D．“关于12函数”至少有一个零点
答案D
解析若f(x)＝2，t＝－1，满足f(t＋x)＝－tf(x)恒成立，故f(x)
＝2也是常数函数中的一个“关于t函数”，故A不正确；若f(x)＝
x2是一个“关于t函数”，一定满足(x＋t)2＝－tx2在x∈R上恒成立，
这样的常数t不存在，故B不正确；若f(x)＝sinπx，t＝1，满足sinπ(x
＋1)＝sin(π＋πx)＝－sinπx在x∈R上恒成立，所以f(x)＝sinπx是一个
“关于t函数”，故C不正确；“关于12函数”一定能使f(12＋x)＝－12
f(x)在x∈R上恒成立，则f(12＋x)·f(x)≤0，故f(x)存在零点，结论D
正确．
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探究本题以新定义函数为背景，考查函数的性质，考查考生的
创新意识和分析问题、解决问题的能力．解题的思路是根据“关于t
函数”的定义，对4个结论逐个验证，也可以举反例说明．
12．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)
＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上()
A．是增函数B．是减函数
C．可以取得最大值MD．可以取得最小值－M
答案C
解析取φ＝0，ω＝1，M＝1，则f(x)＝sinx.
∵f(－π2)＝－1，f(π2)＝1，则[a，b]＝[－π2，π2]．这时g(x)＝cosx，
故选C.
二、填空题
13．已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为
________．
答案9
解析方法一因为xy＝x＋y＋3≥2xy＋3，所以(xy－3)·(xy
＋1)≥0，即xy≥9(当且仅当x＝y＝3时等号成立)．
方法二令x＝y，得x2－2x－3＝0，x＝3.∴xy＝9.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，
b，c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.
答案45
解析方法一取特殊值：a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC
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＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.
方法二取特殊角：A＝B＝C＝π3，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC
＝45.
15．(2014·湖北八市联考)如图，已知|OA
→
|＝2，|OB
→
|＝1，∠AOB
为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，OP
→
＝xOA
→
＋yOB
→
，
若点P在阴影部分(含边界)内，则在下列给出的关于x，y的式子中，
满足题设条件的为________．(写出所有正确式子的序号)
①x≥0，y≥0；②x－y≥0；③x－y≤0；④x－2y≥0；⑤2x－y≥0.
答案①③⑤
解析先分析两种临界状态，当点P在射线OM上时，由角平
分线性质知OP
→
＝λ(OA
→
|OA
→
|
＋OB
→
|OB
→
|
)＝λ2OA
→
＋λOB
→
，此时x＝λ2，y＝λ，即y
＝2x；当点P在射线ON上时，由中线性质知OP
→
＝λ(OA
→
＋OB
→
)，此时
y＝x，所以x≤y≤2x.故结合选项知应填①③⑤.
16．如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO
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上一点，且AO
→
＝2AK
→
，过点K的直线分别交直线AB，AC于不同的
两点M，N，若AB
→
＝mAM
→
，AC
→
＝nAN
→
，则m＋n＝________.
答案4
解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中
位线(∵AO
→
＝2AK
→
，∴K是AO的中点)．这时由于有AB
→
＝mAM
→
，AC
→
＝
nAN
→
，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.
17．在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，
平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，则V1∶V2＝
________.
答案7∶5
解析
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由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可以取一个
特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1.
则体积V＝4，而V1＝13(1＋4＋4)＝73，
V2＝4－73＝53.∴V1∶V2＝7∶5.
18．若函数y＝f(x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2
∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自倒函数”．给出下列命
题：
①f(x)＝sinx＋2(x∈[－π2，π2])是自倒函数；
②自倒函数f(x)的值域可以是R；
③自倒函数f(x)可以是奇函数；
④若y＝f(x)，y＝g(x)都是自倒函数，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)
也是自倒函数．
则以上命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)
答案①③
解析对于①，不妨任取x1∈[－π2，π2]，则f(x1)∈[2－1，2＋
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1]，所以f(x2)＝1f?x
1?
∈[2－1，2＋1]．又f(x)在[－π2，π2]上单调递增，
故满足题意，故①正确；对于②，若函数f(x)的值域为R，不妨取f(x1)
＝0，则在其定义域内不存在x2，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，故②不正
确；对于③，设函数f(x)＝1x，易知f(x)满足题意，显然f(x)为奇函数，
故③正确；对于④，取f(x)＝x，x∈(0，＋∞)，g(x)＝1x，x∈(0，＋∞)，
则f(x)，g(x)是自倒函数．但y＝f(x)·g(x)＝x·1x＝1不是自倒函数，因
为对y＝f(x)·g(x)的定义域内的任意的x1，x2，都有f(x1)·f(x2)＝1，故
④不正确．故填①③.
|
|
