Gothedistance
专题集训·作业(八)
一、选择题
1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，
则ω，φ的值分别是()
A．2，－π6B．2，－π3
C．4，－π6D．4，π3
答案A
解析由题知34T＝π3＋5π12＝3π4，又T＝2πω，∴ω＝2.
又f(π3)＝1，－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.
2．(2014·武昌调研)若S1＝
??1
21xdx，S2＝
??1
2(lnx＋1)dx，S3＝
??1
2xdx，
则S1，S2，S3的大小关系为()
A．S1
C．S1
答案A
解析分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.
Gothedistance
3．已知定点F1(－4,0)，F2(4,0)，N是圆O：x2＋y2＝4上的任意
一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线
F2M相交于点P，则点P的轨迹是()
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
答案B
解析根据题意作出图形，连接ON，由题意可得|ON|＝2，且N
为MF1的中点，∴|MF2|＝4.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M
的垂直平分线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|
＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝4<|F1F2|，由双曲线的
Gothedistance
定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
探究本题考查双曲线的定义，圆的标准方程、圆锥曲线的基本
性质等知识．解题时，根据题干中提供的等量关系得出点P满足||PF2|
－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝4<|F1F2|，从而得到点P的轨迹为双曲
线，解答本题的关键是熟练掌握双曲线的基础知识．
4．已知F1，F2是双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段
F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲
线的离心率为()
A.3＋12B.32
C．2D.3＋1
答案D
解析因为MF1的中点P在双曲线上，所以||PF2|－|PF1||＝2a.三
角形MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以3c－c＝2a，所以e＝ca＝
2
3－1＝3＋1，故选D.
5．(2014·南昌二模)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且
当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是
()
A．9B．10
C．11D．18
答案B
解析由F(x)＝0，得f(x)＝|lgx|，所以函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零
点个数就是函数y＝f(x)与y＝|lgx|图像交点的个数．作出函数图像，
Gothedistance
如图所示．
当010时，|lgx|>1，所以此时函
数y＝f(x)与y＝|lgx|的图像无交点，故函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个
数是10.
6．(2014·合肥质检Ⅱ)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组
??
??
?x≥0，
y≥0，
x＋y≥1，
所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任
意一点，O为坐标原点，则|OP
→
＋OQ
→
|的最小值为()
A.55B.23
C.22D．1
答案A
解析由不等式组画出可行域如图(阴影部分)，
Gothedistance
设P(x，y)在可行域内，Q(a，－2a)在直线2x＋y＝0上，即(－a,2a)
也在直线2x＋y＝0上，所以|OP
→
＋OQ
→
|＝?x＋a?2＋?y－2a?2，即表示
可行域内的点到直线2x＋y＝0的距离，由图知最小距离为直线x＋y
－1＝0与y轴的交点(0,1)到直线2x＋y＝0的距离，所以为55，故选
A.
7．设直线l与曲线f(x)＝x3＋2x＋1有三个不同的交点A，B，C，
且|AB|＝|BC|＝10，则直线l的方程为()
A．y＝5x＋1B．y＝4x＋1
C．y＝3x＋1D．y＝3x＋1
答案D
解析∵函数y＝x3＋2x是奇函数，图像关于原点对称，∴曲线
f(x)＝x3＋2x＋1的对称中心为(0,1)．又|AB|＝|BC|＝10，则点B为
(0,1)，不妨设C(x，x3＋2x＋1)(x>0)，由|BC|＝10，得x2＋(x3＋2x)2
＝10，解得x＝1.故C(1,4)，故直线l的方程为y＝3x＋1，故选D.
8．设向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，若向量a满足|a－2i|＋|a－j|＝5，
Gothedistance
则|a＋2j|的取值范围是()
A．[22，3]B．[655，22]
C．[5，4]D．[655，3]
答案D
解析设a＝OM
→
＝(x，y)，A(2,0)，B(0,1)，C(0，－2)，则由|a
－2i|＋|a－j|＝5，可得?x－2?2＋y2＋x2＋?y－1?2＝5，即|MA|＋
|MB|＝|AB|＝5，所以点M的轨迹为线段AB，轨迹方程为x＋2y－2
＝0(0≤x≤2)．又|a＋2j|＝|MC|，数形结合可知|a＋2j|的取值范围是
[655，3]．
9．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中
有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是()
A．13B．18
C．21D．26
答案C
解析设f(x)＝x2－6x＋a，其图像是开口向上，对称轴是x＝3
的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解
集中有且仅有三个整数，则
??
??
?f?2?≤0，
f?1?>0，即???
??22－6×2＋a≤0，
12－6×1＋a>0，
Gothedistance
解得5
a的值之和是6＋7＋8＝21.故选C.
探究本题主要考查一元二次不等式、根的存在性和根的个数判
断，同时考查了转化与化归的思想，属中档题．解题时，作出f(x)＝
x2－6x＋a的图像，根据已知条件将问题转化成解不等式组
??
??
?f?2?≤0，
f?1?>0.
10．已知点F1，F2是双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e
的取值范围是()
A．(1，2)B．(1，2]
C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
答案C
解析根据双曲线的对称性，不妨设点A在第一象限，作F2B⊥
AF1，垂足为B，则|F2B|＝2a.在Rt△F1F2B中，|F1F2|＝2c，所以|F1B|
＝2b，所以直线AF1的斜率为ab.又双曲线经过第一、三象限渐近线的
Gothedistance
斜率为ba，要使满足题意的点A存在，则ab
所以e2＝c
2
a2>2，故离心率e的取值范围是(2，＋∞)．
11．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－
2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关
于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数
a的取值范围是()
A．(1,2)B．(2，＋∞)
C．(1，34)D．(34，2)
答案D
解析由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是周期为4的周期函数．于是
可得f(x)在(－2,6]上的图像如图中实线所示，而函数g(x)＝loga(x＋
2)(a>1)的图像如图中的虚线所示．
结合图像可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间(－2,6]
内恰有3个不同的实数根，必须且只需
??
??
?g?2?<3，
g?6?>3，即???
??loga4<3，
loga8>3，解
得34
Gothedistance
探究本题考查函数的周期性、方程的根等知识，考查函数与方
程思想和数形结合思想．
12．(2014·荆州质检Ⅱ)若直线l同时平分一个三角形的周长和面
积，则称直线l为该三角形的“平分线”，已知△ABC三边之长分别
为3,4,5，则△ABC的“平分线”的条数为()
A．0B．1
C．2D．3
答案B
解析不妨设BC＝3，AC＝4，AB＝5，已知△ABC的面积为6，
周长为12，若是图1中的直线，则m，n满足m＋n＝6，mn＝
6,0≤m≤3,0≤n≤4，即m，n为方程t2－6t＋6＝0的解，解得t＝3±3，
其中3＋3>4，此时不存在符合要求的m，n，即不存在满足要求的
直线l；若是图2中的直线，则m，n满足m＋n＝6，mn＝152，
0≤m≤3,0≤n≤5，即m，n为方程t2－6t＋152＝0的解，解得t＝3±62，
取m＝3－62，n＝3＋62，得一条满足要求的直线l；若是图3中的
直线，则m，n满足m＋n＝6，mn＝10，即m，n为方程t2－6t＋10
＝0的解，此方程无实数解，故不存在满足要求的直线l.综上，△ABC
的“平分线”的条数为1.
二、填空题
Gothedistance
13．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且(a＋b)⊥b，则a与b
的夹角θ为________．
答案5π6
解析方法一因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，则a·b＋b2＝0，
即23cosθ＋3＝0，所以cosθ＝－32.又θ∈[0，π]，则a与b的夹角
θ为5π6.
方法二如图，令OA
→
＝a＋b，OB
→
＝b，则BA
→
＝a，在Rt△OAB
中，cosB＝|OB
→
|
|BA
→
|
＝32，所以B＝π6.则a与b的夹角θ为5π6.
14．(2014·武昌调研)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，
将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，
[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知
高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分
的学生人数为________.
Gothedistance
答案480
解析由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于60分的
学生人数为600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.
15．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，
则m>n的概率为________．
答案710
解析在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则
(m，n)表示的图形面积为(4－1)×(6－1)＝15，其中满足m>n，即在
直线m＝n右侧的点表示的图形，面积为12×(2＋5)×3＝212，故m>n
的概率P＝
21
2
15＝
7
10.
16．(2014·济南训练)设变量x，y满足约束条件
??
??
?y≤3x－2，
x－2y＋1≤0，
2x＋y≤8，
则yx的最大值是________．
答案2
Gothedistance
解析二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，yx表示
阴影部分内一点与原点连线的斜率，在点A，即
??
??
?2x＋y＝8，
y＝3x－2的交点
(2,4)处，yx取最大值2.
17．设函数f(x)＝
??
??
?x·2x，x≥0，
－2sin2x，x<0，则方程f(x)＝x
2＋1的实数解
的个数为________．
答案3
解析当x＝0时，f(x)≠x2＋1，不符合题意；当x>0时，由f(x)
＝x2＋1，得x·2x＝x2＋1，即2x＝x＋1x.在直角坐标系中，作出函数y
＝2x，y＝x＋1x的图像，由图像可知，当x>0时，只有1个交点；当
x<0时，由f(x)＝x2＋1，得－2sin2x＝x2＋1.作出y＝－2sin2x，y＝x2
＋1的图像，由图像可知，当x<0时，两函数图像有
2个交点，所以总共有3个交点，即方程f(x)＝x2＋1的实数解的
个数为3.
Gothedistance
探究本题主要考查分段函数的图像与性质基础知识，对考生的
逻辑能力及分析问题、解决问题的能力有较高的要求．求解时，将方
程f(x)＝x2＋1的实数解问题转化为两个函数图像的交点问题，结合图
像进行求解．
18．已知P为△ABC所在的平面上的一点，且AP
→
＝13AB
→
＋tAC
→
，
其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是________．
答案(0，23)
解析若点P落在△ABC内，延长AP交BC于D，则AP
→
＝mAD
→
，
0
→
＝nAB
→
＋(1－n)AC
→
，0
→
＝mnAB
→
＋m(1－n)AC
→
＝
1
3AB
→
＋tAC
→
，t>0，∴mn＝13，t＝m(1－n)＝m－13∈(0，23)．
|
|
