第一部分论方法高考总复习·二轮专题·数学·理第页高考调研第页第一部分专题3高考总复习·二轮专题·数学·理第一部分论方法专题3分类讨论思想第一部分论方法高考总复习·二轮专题·数学·理第页高考调研第页第一部分专题3高考总复习·二轮专题·数学·理x1＋x2＝，x1x2＝.
|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.设直线AB的方程为y＝kx(k≠0)，
由消去y，并整理，得x2＝.
设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则
|AB|＝|x3－x4|＝4，
W＝＝＝4.
综上所述，W为定值4.
【解析】如图所示，|AB|＝4，D是AB的中点，CDAB，|AD|＝2，|AC|＝4.
在RtACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式，得
＝2，得k＝.
k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
一、分类讨论思想
是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与融合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
二、分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
三、分类讨论的原则
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则的讨论.
【典例1】若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，求由实数a组成的集合C.
类型一集合、逻辑中的分类讨论【解析】(1)当B≠时，由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1,3}．
A∩B＝B，B?A，从而B＝{－1}或B＝{3}．
当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；
当B＝{3}时，由a×3－2＝0，得a＝.
(2)当B＝时，由ax－2＝0无实数根，得a＝0.
综上可知，由实数a组成的集合C＝{－2,0，}．
【对点练1】(2014·福建)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：a≠2；b＝2；c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
【解析】由集合相等得对应元素相等，结合后面关系式的正确与否得出a，b，c的取值．
因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若正确，则不正确，得到由于集合{a，b，c}＝{0,1,2}，所以解得a＝b＝1，c＝0，或a＝1，b＝c＝0，或b＝1，a＝c＝0，与互异性矛盾；若正确，则不正确，得到与互异性矛盾；若正确，
则不正确，得到则符合题意，所以100a＋10b＋c＝201.
【答案】201
【典例2】已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围．
【答题模板】由复合命题的真假，推知命题p和q的真假，等价转化可求参数的取值范围．
【解析】由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知0
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，则解得a>.
因为pq为真命题，pq为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故或即a(0，][1，＋∞)．
【对点练2】(2014·天津)设a，bR，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】按照b<0，b＝0，b>0分类讨论求解．
当b<0时，显然有a>ba|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>ba|a|>b|b|；
当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>ba|a|>b|b|.
综上可知a>ba|a|>b|b|，故选C.
【答案】C
【典例3】(2014·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
类型二函数中的分类讨论【解析】分段求分段函数的函数值，注意分类讨论思想的应用．
若a>0，则f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝.
若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．
【答案】
【对点练3】(2014·新课标全国)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
【解析】结合题意分段求解，再取并集．
当x<1时，x－1<0，ex－1
当x<1时满足f(x)≤2.
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，1≤x≤8.
综上可知x(－∞，8]．
【答案】(－∞，8]
【典例4】求函数f(x)＝－x(x－a)在x[－1,1]上的最大值．
【答题模板】
【解析】函数f(x)＝－(x－)2＋的图像的对称轴为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论．
(1)当a<－2时，由下图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)；
(2)当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f()＝；
(3)当a>2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.
综上可知，f(x)max＝
【对点练4】(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图像上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
【解析】设P(x，)，
则|PA|2＝(x－a)2＋(－a)2
＝(x＋)2－2a(x＋)＋2a2－2，
令t＝x＋≥2(x>0，当且仅当x＝1时取“＝”)，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.
当a≤2时，(|PA|)＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2.
由题意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)．
当a>2时，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.
由题意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍)．
综上知，a＝－1或.
【答案】－1或
【典例5】若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．
【答题模板】函数f(x)存在单调递减区间，就是不等式f′(x)≤0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是要求f′(x)≤0在(0，＋∞)上有实数解．
【解析】由题知，f′(x)＝－ax－2＝－，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)＝－≤0有解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解．
(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；
(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解，则Δ＝4＋4a>0，此时－1
(3)当a＝0时，显然符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
【答案】(－1，＋∞)
【对点练5】(2014·江西九江二模)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx，其中aR.求函数f(x)的单调递增区间．
【解析】f′(x)＝(x>0)，
当a>2时，>1，令f′(x)>0，得0.
函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(，＋∞)；
②当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；
当00，得01.
函数f(x)的单调递增区间是(0，)和(1，＋∞)；
当a≤0时，令f′(x)>0，得x>1.
函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).
【典例6】求不等式|x－1|＋|2x＋1|<2的解集．
类型三不等式中的分类讨论【解析】由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－时，|2x＋1|＝0(以下分类讨论)．
当x<－时，原不等式等价于
得－
②当－≤x≤1时，原不等式等价于
得－≤x<0.
当x>1时，原不等式等价于得x无解．
由得原不等式的解集为{x|－
【对点练6】(2014·郑州质检)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－a|＋5x.
(1)求不等式f(x)>5x＋1的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求实数a的值．
【解析】(1)由f(x)>5x＋1，化简可得|2x－a|>1.
即2x－a>1或2x－a<－1.
解得x<或x>.
所以不等式f(x)>5x＋1的解集为{x|x<或x>}．
(2)不等式|2x－a|＋5x≤0等价于5x≤2x－a≤－5x，
即化简得
若a<0，则原不等式的解集为{x|x≤}＝{x|x≤－1}，此时，a＝－7；
若a≥0，则原不等式的解集为{x|x≤－}＝{x|x≤－1}，此时，a＝3.
综上所述，a＝－7或a＝3.
【典例7】(2013·天津)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(nN)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(nN)．
类型四数列中的分类讨论【答题模板】(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；
(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，
即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3.
于是q＝＝－.
又因为a1＝，所以等比数列{an}的通项公式an＝
·(－)n－1＝(－1)n－1·.
(2)证明：Sn＝1－(－)n，Sn＋＝1－(－)n＋＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于nN，有Sn＋≤.
【对点练7】(2014·北京)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】{an}为递增数列，则a1>0时，q>1；a1<0时，01时，若a1<0，则{an}为递减数列．故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.
【答案】D
【典例8】(2014·新课标全国)若钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()
A．5B.
C．2D．1
类型五三角、向量中的分类讨论【解析】利用三角形面积公式可求角B，再利用余弦定理求得B的对边AC.
S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，
sinB＝，B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，AC＝，此时ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.
【答案】B
【对点练8】(2014·安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，ABC的面积为，求cosA与a的值．
【答题模板】根据已知条件用三角形面积公式求出sinA，再利用同角三角函数关系式求出cosA，利用余弦定理求a.
【解析】由三角形面积公式，得×3×1·sinA＝.
故sinA＝.
因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cosA＝±＝±＝±.
当cosA＝时，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×＝8.
所以a＝2.
当cosA＝－时，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2.
【典例9】(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()
A.B.
C. D．0
【解析】根据分类讨论思想及向量数量积的定义求解．设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S＝(xi·yi)，则S有以下三种情况：
S＝2a2＋2b2；S＝4a·b；
S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
∵|b|＝2|a|，中S＝10|a|2，中S＝8|a|2cosθ，中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，cosθ＝，可求θ＝，故选B.
【答案】B
【对点练9】(2014·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
【解析】利用平面向量的平行四边形法则，作出a＋b，a－b，再比较模的大小．
由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当ab时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
【答案】D
【典例10】(2014·南昌一模)已知点P(1，－)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
类型六解析几何中的分类讨论(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，W＝.试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．
【答题模板】(1)根据定义确定2a；
(2)设直线方程时讨论直线的斜率存在与否；
(3)注意弦长公式的应用．
【解析】(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，c＝1，椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)．
可得2a＝＋＝＋＝4，解得a＝2.
b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线斜率不存在时，|AB|2＝(2b)2＝4b2，
|MN|＝，W＝＝＝2a＝4.
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
且M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
【对点练10】(2014·九江月考)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．
【典例11】(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()
A．72B．120
C．144D．168
类型七排列组合中的分类讨论【解析】因为同类节目不相邻，故可用插空法求解．
先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
【答案】B
【对点练11】(2014·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)
【解析】当第五项是5时，有CA种结果；当第五项是4时，末位为0时有A种结果，末位不为0时有CCA种结果；当第五项是3时，末位为0时有A种结果，末位不为0时有CCA种结果；当第五项是2时，末位为0时有A种结果，末位不为0时有CA种结果；当第五项是1时，有A种结果，所以一共有CA＋A＋CCA＋A＋CCA＋A＋CA＋A＝300种编排方法．
【答案】300
【典例12】(2014·广东)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()
A．60B．90
C．120D．130
【解析】先对x1，x2，x3，x4，x5的取值可能出现的结果进行分类，然后再组合．
在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为x1{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有：一个1(或－1)，四个0，有C×2种；两个1(或－1)，三个0，有C×2种；一个－1，一个1，三个0，有A种；两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有CC×2种；三个1(或－1)，两个0，有C×2种．故共有C×2＋C×2＋A＋CC×2＋C×2＝130种．故选D.
【答案】D
【对点练12】(1)(2014·太原模拟)将5名同学分配到A，B，C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，则不同的分配方案种数是()
A．76B．100
C．132D．150
【解析】优先考虑特殊元素或特殊位置．对A宿舍的人数分类：第一类，A宿舍安排除甲以外的3人，有CA＝8种分配方案；第二类，A宿舍安排除甲以外的2人，有CCA＝36种分配方案；第三类，A宿舍安排除甲以外的1人，有C(C＋)A＝56种分配方案，故共有8＋36＋56＝100种方案．
【答案】B
(2)(2014·潍坊模拟)现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有2个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．(用数字作答)
【解析】从5个小正方形中选取2个相邻的情况有4种，如图所示，当1和2涂红色时，有2种涂法，当2和3涂红色时，有1种涂法，当3和4涂红色时，有1种涂法，当4和5涂红色时，有2种涂法，所以一共有6种涂法.
1 2 3 4 5
【答案】6
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