与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题七选修4-4名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）第一篇专题七与名师对话·系列丛书第页二轮专题复习·课标版·数学（文）重难点透析与名师对话·系列丛书第页课时作业专题七选修4-4名师微课堂二轮专题复习·课标版·数学（文）知识方法篇选讲部分选修4－坐标系与参数方程2014考纲解读 核心考点 2015年高考预测 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况，了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．
2.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 参数方程化普通方程 1.参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
2.利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系. 参数方程的应用 极坐标方程的应用 极坐标与参数方程的综合应用
考一极坐标方程与直角坐标方程的互化【自主回顾】
若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．
1．(2014·北京西城一模)在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是()
A．ρ＝2B．θ＝
C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2
解析：极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为
ρsinθ＝2，故选D.
答案：D
2．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|＝2.
答案：2
【典例剖析】
(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
【思路启迪】把极坐标方程化为直角坐标方程，再求两曲线的交点坐标．
【解析】因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，得ρ2sin2θ＝ρcosθ，所以曲线C1的普通方程为y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲线C2的普通方程为y＝1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．
【答案】(1,1)
解答极坐标问题通常有两种途径：一是转化为平面直角坐标问题加以解决，二是在极坐标系中数形结合加以解决．
【举一反三】
(2014·山西四校高三第三次联考)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
解：(1)ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)，
即ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)C1的直角坐标方程为x＋y＋2＝0，
由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝，
所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.
考参数方程与普通方程的互化【自主回顾】
将参数方程中的参数消去后便得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等的运算而消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响．
1．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：由题设可得直线l：y＝x－a，又由椭圆参数方程可知其右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案：3
2．(2014·广东东莞一模)已知直线l：(t为参数，且tR)与曲线C：(α是参数，且α[0,2π))，则直线l与曲线C的交点坐标为________．
解析：直线l：(t为参数，且tR)化为普通方程为y＝－2x＋5，曲线C：(α是参数，且α[0,2π))化为普通方程为y＝2x2＋1(1≤y≤3)，
∴x＝1，y＝3，
直线l与曲线C的交点坐标为(1,3)．
答案：(1,3)
【典例剖析】
(2014·新课标全国卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【思路启迪】(1)利用同角三角函数的平方关系将椭圆的标准方程化为参数方程(常见的)，利用消元法求出直线l的普通方程；(2)利用点到直线的距离公式进行转化求解．
【解】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
参数方程化为普通方程的关键是消去参数，在转化的过程中应注意x，y的取值范围，应保证参数方程与普通方程的转化是等价的．
【举一反三】
已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
考极坐标方程与参数方程的综合应用【自主回顾】
对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化成直角坐标方程后再求解．
1．(2014·湖北卷)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：由曲线C1的参数方程得y＝x(x≥0)，
曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，可得方程x2＋y2＝4，
由联立解得故C1与C2交点的直角坐标为(，1)．
答案：(，1)
2．(2014·安徽合肥二检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以O为极点，射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρ＝4sinθ，曲线C1与C2交于M，N两点，则线段MN的长度为________．
解析：由题意，C1的参数方程转化为直角坐标方程为x＋y－4＝0，C2的极坐标方程ρ＝4sinθ转化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝22，圆心(0,2)到直线x＋y－4＝0的距离为d＝＝，所以|MN|＝2＝2.
答案：2
【典例剖析】
(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【思路启迪】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程；(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．
【解】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，
即ρ＝.
在把参数方程化为普通方程时要注意参变量的位置与范围，如果角为参数，通常是利用同角三角函数的平方关系消参；在进行平面直角坐标方程与极坐标方程互化时一般是运用公式进行代入转化，而对于ρ的一次式结构常用的办法是两边同乘以ρ，在研究位置关系或求交点、弦长时常常是把问题转化为普通方程，通过解方程组求解．
【举一反三】
(2014·河北石家庄质量检测(二))已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.
(1)求曲线C的参数方程；
(2)当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．
解：(1)由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，
标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
曲线C的普通方程化为参数方程为
(φ为参数)．
(2)当α＝时，直线l的方程为
化成普通方程为y＝x＋2.
由
解得或
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为，(2，π)．
参数方程与坐标系联系几何与代数，是数形结合的桥梁．直线、圆、椭圆是极坐标方程考查的重点，参数方程则重点考查圆锥曲线，涉及参数方程或极坐标有难度的问题尽可能转化为直角坐标运算．
极坐标与参数方程问题的答题策略
(2014·东北三校第一次联考)已知圆C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
【思维导图】
【规范解答】(1)由得x2＋y2＝1，
由题意可知：ρ＝2cos＝cosθ－sinθ，
ρ2＝ρcosθ－ρsinθ
x2＋y2－x＋y＝0，即2＋2＝1
(2)圆心距d＝＝1<2，
得两圆相交
由得A(1,0)，B，
|AB|＝＝.
【易错提醒】第一问要求考生掌握参数方程与直角坐标方程的互相转化，要求掌握消参的方法．第二问考查两圆的位置关系，要求考生掌握位置关系的判定方法，包括交点的一元二次方程判别式法以及几何的距离判断法，除此之外还得掌握弦长的计算方法．
【答题模板】
审条件，进行参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；
审结论，借助直角坐标方程解决问题；
定方法，确定参数的几何意义对题目的影响；
回顾反思，检查解题的规范性，公式的应用是否有失误．
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数)，两曲线相交于M，N两点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，直线l的普通方程为x－y－2＝0
(2)直线l的参数方程为
(t为参数)，
代入y2＝4x，得到t2－12t＋48＝0，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝12，t1t2＝48>0，
所以|PM|＋|PN|＝|t1＋t2|＝12.
请做：课时作业(十九)
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