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考一与方程和不等式有关的问题【自主回顾】
研究函数的性质可以借助于函数的图象，从函数图象上能直观地观察特殊点、单调性、周期性、对称性等性质．不等式问题与函数的图象也有密切的联系，比如应用二次函数的图象解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法，因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图象，利用函数图象，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算．
1．(2014·云南统考)记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}＝()
A.B．1C．3D.
解析：在同一坐标系下作出函数y＝x＋1，y＝x2－x＋1，y＝－x＋6的图象，如图所示，由图象知max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}＝.
答案：D
2．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()
A．f
B．f
C．f
D．f(2)
解析：由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(x＋1)，即函数f(x)的对称轴为x＝1，结合图形(如图)可知f
答案：C
【典例剖析】
(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
【思路启迪】含参数的二次函数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，作出二次函数图象，根据条件结合图象列出关于m的不等式组求解．
【解析】作出二次函数f(x)的图象，对于任意x[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有
即解得－
【答案】
借助二次函数的图象进行灵活转化，直观简练．
【举一反三】
1．(2014·北京西城第一学期期末)已知a，b是正数，且满足2
A.B.C．(1,16)D.
解析：满足2
a2＋b2的几何意义为(a，b)与(0,0)距离的平方．
如图，最小值为点O(0,0)到直线a＋2b＝2的距离的平方即2＝.
最大值为|OA|2＝42＝16，故选B.
答案：B
2．(2014·忻州联考)已知a>0且a≠1,f(x)＝x2－ax.当x(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是()
A.[2，＋∞)B.∪(1,4]
C.∪(1,2] D.∪[4，＋∞)
解析：由题意，x2－ax<即x2－
当a>1时，φ(－1)＝a－1≥g(－1)＝，1
当0
≤a<1.
综上，a的取值范围为(1,2]，故选C.
答案：C
3．(2014·济南模拟)函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)(xR)，则函数g(x)的零点个数为________．
解析：因为g(x)＝作出g(x)的图象，如图所示，知其零点个数为2.
答案：2
考与三角函数有关的问题【自主回顾】
解决三角不等式、三角函数值的大小比较等问题时，利用三角函数线和三角函数图象能方便、直观的解决问题．
1．(2014·长春模拟)在同一平面直角坐标系中，函数
y＝cos(x[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是()
A．0B．1C．2D．4
解析：作出函数y＝cos＝sin(x[0,2π])图象与直线y＝，观察两图可知有两个交点．
答案：C
2．(2014·广州调研)函数f(x)＝sinx＋在区间[0，＋∞)内()
A．没有零点B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个零点D．有且仅有3个零点
解析：在同一坐标系中画出函数y＝sinx与y＝－的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，函数f(x)＝sinx＋在区间[0，＋∞)内有且仅有1个零点．
答案：B
【典例剖析】
(2014·郑州市高三质检)函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()
A．2B．4C．6D．8
【思路启迪】利用函数图象的平移、伸缩等变换得到函数的图象，观察两图象的特点：图象都关于点(1,0)对称，利用特殊点的函数值来判断图象的交点．
【解析】函数y＝，y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象都关于点(1,0)对称，所以两函数图象的交点也关于点(1,0)对称．由数形结合易判断两函数图象共8个交点，且组成4对关于(1,0)对称的点，于是所有交点的横坐标之和是8.故选D.
【答案】D
善于观察函数图象的特点，还要根据图象的性质分析要得出的结论，这样才能巧用数形结合方法完成解题．
【举一反三】
1．(2014·昆明调研)已知a(a≠0)是实数，则函数f(x)＝acosax的图象可能是()
解析：对于A、D，注意到当x＝0时，f(x)＝acos0＝a≠0，因此结合选项知，选项A、D不正确；对于B，注意到其最小正周期T＝＝π，|a|＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此选项B不正确．综上所述，选C.
答案：C
2．(2014·江南十校联考)已知x(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为()
A．[－，2]B．[，2]C．(，2]D．(，2)
解析：如图．在直角坐标系内作出函数y＝2sin(x＋)在区间(0，π]的图象，使得直线y＝a与图象有两个交点时，易知
答案：D
3．(2014·济南一模)若函数f(x)＝2sin(－2
A．－32B．－16C．16D．32
解析：由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，根据对称性可知，A是B、C的中点，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32，选D.
答案：D
考与解析几何有关的问题【自主回顾】
如果参数具有明显的几何意义，那么可以考虑应用数形结合思想解决问题．一般地，常见的对应关系有：
(1)表示连接(a，b)和(m，n)两点直线的斜率；
(2)表示两点(a，b)和(m，n)之间的距离；
(3)导数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．利用这些对应关系，由数想形，可以巧妙地利用几何法解决问题．
1．(2014·德州模拟)若实数x，y满足等式x2＋y2＝1，那么的最大值为()
A.B.C.D.
解析：设k＝，如图所示，
kPB＝tanOPB＝＝，
kPA＝－tanOPA＝－，
且kPA≤k≤kPB，kmax＝.
答案：B
2．(2014·兰州、张掖联考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
解析：如图，分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|＝|BD|，
∵|BC|＝2|BF|，
|BC|＝2|BD|，
BCD＝30°，
又|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，抛物线的方程是y2＝3x.
答案：y2＝3x
【典例剖析】
(2014·银川模拟)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()
A.B．－C．±D．－
【思路启迪】借助数形结合求解．
【解析】
由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的上半圆，如图所示．
故SAOB＝|OA|·|OB|·sinAOB＝sinAOB.所以当sinAOB＝1，即OAOB时，SAOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin45°＝.设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，则有＝，解得k＝±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－.
【答案】B
解析几何中涉及圆的问题，要注意强化两种解题意识：一是画图意识，通过画图探求解析，去杂补漏(如本题观图即可知k＝不合题意)；二是灵活运用圆的几何性质解题的意识，若本题采用代数方法，则需建立三角形面积S关于直线斜率k的函数，再设法求该函数的最值，显然此法计算繁杂，思维难度也大，极易出错．
【举一反三】
1．如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()
A.＋1B.＋1
C.D.
解析：连接AF1，依题意得AF1AF2，AF2F1＝30°，则|AF1|＝c，|AF2|＝c，因此该双曲线的离心率是e＝＝＝＋1，故选B.
答案：B
2．已知A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上不同两点，且直线AB倾斜角为锐角，F为抛物线焦点，若＝－3，则直线AB倾斜角为()
A.B.C.D.
解析：过A作准线的垂线AA1，过B作准线的垂线BB1，作BHAA1.
∵＝－3，lAB过焦点F，设|BF|＝a，则|AF|＝3a
根据抛物线定义|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，|AH|＝2a，
|AB|＝4a
在RtAHB中，HBA＝30°，HAB＝60°＝AFx
∴AB倾斜角为60°，故选D.
答案：D
3．(2014·大连模拟)＋的最小值是________．
解析：
＝，
其几何意义是P(x,0)到A(－1,4)的距离；
＝，
其几何意义是P(x,0)到B(4，－8)的距离，由于P(x,0)在x轴上移动．问题变为：在x轴上取一点P，使|PA|＋|PB|最小(如图)，显然|PA|＋|PB|的最小值为|AB|＝＝＝13(当P是直线AB与x轴的交点时取得)．
答案：13
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义．
(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化．
(3)要正确确定参数的取值范围.
利用数形结合求范围问题
关于x的方程－x－m＝0有解，则实数m的取值范围是________．
【思维导图】
【规范解答】令y1＝(y1≥0)，其图象为半个圆，如图
令y2＝x＋m，其图象为一组斜率为1的平行直线．
方程有解，即图象有交点，
则m[－1，]．
【易错提醒】解析式的变形应符合等价性原则，应注意函数的定义域和值域的变化．
【答题模板】
化简函数解析式；
结合图形利用函数知识求解；
得结论；
回顾反思，利用函数的性质及特殊点进行验证．
(2014·广州质检)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是()
A．[－1,1＋2]B．[1－2，1＋2]
C．[1－2，3]D．[1－，3]
解析：曲线y＝3－表示圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y＝x＋b经过点(0,3)时，b取最大值3，当直线与半圆相切时，b取最小值，由＝2可得．b＝1－2或1＋2(舍)，故bmin＝1－2，b的取值范围为[1－2，3]．
答案：C
请做：课时作业(二十二)
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