第八节直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0?直线与圆锥曲线_____；②Δ＝0?直线与圆锥曲线_____；③Δ＜0?直线与圆锥曲线_____．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是______；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_____________．1．直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？【提示】必要不充分条件．直线与圆锥曲线相切时，二者只有一个公共点，但反过来不成立．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线，则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．2．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是多少？【提示】当弦垂直于x轴时，弦长最短为2p.【解析】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】A【答案】C3．(2013·郑州模拟)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．【答案】164．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．【答案】－4【思路点拨】(1)由c＝1，点P(0，1)在椭圆C1上，求关于a，b的方程；(2)利用待定系数法设l的方程，联立曲线方程，根据判别式Δ＝0求待定参数．1．(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数问题，体现了方程思想的应用．(2)对于客观性试题，要充分运用几何条件，重视数形结合的方法求解．2．(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用：①可以限定所给参数的范围；②可以取舍某些解以免产生增根．【思路点拨】(1)根据椭圆的几何性质，求参数a，b得椭圆方程．(2)联立直线与椭圆方程，借助向量的坐标运算沟通参数k与a的等量关系，再利用椭圆的离心率求a的范围，进而求出k的范围．“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．1.涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)．2．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．1.重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用．2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数．3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”盲目简单化．从近两年高考试题看，直线与圆锥曲线是高考的必考内容，尤其是定点、定值问题，最值或范围问题、探索性问题是高考的热点内容，命题方式多与向量、不等式、导数等工具性知识点交汇命制，体现知识重组，由于该部分知识是数形结合的完美体现，因此在解答问题时既要注重数(函数与方程思想)，又要注重形(几何性质)，同时应注意解题的规范化．思想方法之十六用函数思想求圆锥曲线中的最值(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．1．(2013·济南模拟)已知抛物线y＝ax2的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________．2．(2012·北京高考)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．【答案】8菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）相交相切相离平行平行或重合菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝＝－y|x2－x
1．(人教版直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()相交．相切相离．不确定2．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是()(0，)．(－，0)(－，)．(－∞，－)∪(，＋∞)【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±，若直线与双曲线相k∈(－，)．【解析】直线l的方程为y＝＋1，由得y－14y＋1＝0.设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝14，＝y＋y＋p＝14＋2＝16.【解析】因为y＝，所以y′＝x，易知P(4，8)，Q(－2，2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l：4x－y－8＝0，l：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.5．(2013·揭阳模拟)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点且斜1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．【解析】由题意A点的坐标(－a，0)，l的方程为y＝x＋a，点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为(－，)，代入椭圆方程得a＝3b，＝2b，∴e＝【答案】(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，且点(0，1)在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l同时与椭圆C和抛物线C：y＝4x相切，求直线l的方程．【尝试解答】(1)椭圆C的左焦点为F(－1，0)，∴c＝1，又点P(0，1)在曲线C上，＋＝1，得b＝1，则a＝b＋c＝2，所以椭圆C的方程为＋y＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y得(1＋2k)x2＋4kmx＋2m－2＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝16k－4(1＋2k)(2m2－2)＝0.整理得2k－m＋1＝0.①由消去y得k＋(2km－4)x＋m＝0.因为直线l与抛物线C相切，所以Δ2km－4)－4k＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得或所以直线l的方程为y＝＋或y＝－－
已知抛物线C：y＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)将(1，－2)代入y＝2px，得2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由得y＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.②由①②知t＝1所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
椭圆ax＋by＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．【解】设A(x，y)，B(x，y)，依题意得＋by＝1，且ax＋by＝1，两式相减，得a(x＋x)(x1－x)＋b(y－y)(y1＋y0，又＝－1，＝k＝，代入上式可得b＝再由|AB|＝－x＝－x＝2，得(x＋x)2－4x＝4，其中x、x是方程(a＋b)x－2bx＋b－1＝0的两根，故()－4·＝4，将b＝代入得a＝，∴b＝所求椭圆的方程是＋＝1.
(2013·黄冈模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，离心率为e.(1)若e＝，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，若＝0，且＜e≤，求k的取值范围．【尝试解答】(1)由题意得＝2又由a＝b＋c，解得b＝3.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)由得(b＋a)x2－a＝0.设A(x，y)，B(x，y)，由x1＋x＝0，且x＝－又＝(3－x，－y)，＝(3－x，－y)．所以＝(3－x)(3－x)＋y＝(1＋k)x1x2＋9＝0.即＋9＝0.整理得k2＝＝－1－.
由＜e≤及c＝3，知2≤a＜3，12≤a＜18.所a4－18a＝(a－9)－81∈[－72，0)，所以k，则k≥或k≤－，因此实数k的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．
1．解2)的关键是通过“＝0”建立参数k与a的等量关系，并最终通过函数的思想求得参数k的范围．
．求解特定字母取值范围(最值)的方法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值(值域)．(2012·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>【解】(1)设点P的坐标为(xy0)．由题意，有＋＝1.①由A(－a，0)，B(a，0)，得k＝，k＝由k＝－，可得x＝a－2y，代入①并整理得(a2－2b)y＝0.由于y0，故a＝2b于是e＝＝，所以椭圆的离心率e＝(2)证明法一依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x，y)．由条件得消去y并整x＝由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y＝kx，得(x＋a)＋k＝a整理得(1＋k)x＋2ax＝0.而x，于是x＝，代入②，整理得(1＋k)2＝4k()2＋4.由a>b>0，故1＋k)2>4k2＋4，即k＋1>4，因此k，所以|k|>法二依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x，kx)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx，所以＋，即(1＋k)x
由|AP|＝|OA|，A(－a，0)，得(x＋a)＋k＝a，整理得(1＋k)x＋2ax＝0，于是x＝代入③，得(1＋k)
过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为x轴交于两点A(a，0)、B(－a，0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值．【思路点拨】(1)由椭圆几何性质，求椭圆的标准方程，焦点坐标，直线l的方程，进而求线段CD的长．(2)关键是求出点P、Q的坐标关系，从而证明与参数取值无关．【尝试解答】(1)由已知得b＝1，＝，∴a＝2，所以椭圆方程为＋y＝1.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－＋1.代入椭圆方程，得7x－8＝0，＝0，x＝，因此y＝1，y＝－，点坐标为(，－)，故|CD|＝＝(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)．代入椭圆方程化简得(4k＋1)x＋8kx＝0.解得x＝0，x＝，代入直线l的方程得y＝1，y＝，所以D点坐标为(，)．又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)，联立解得因此Q4k，2k＋1)．又P点坐标为(－，0)．所以＝(－，0)·(－4k，2k＋1)＝4.故为定值．
1．(1)本题的关键是分别用参数k表示点P、Q的坐标，进而计算，并在计算推理的过程中消去参数，从而得到定值．(2)本题也可从特殊入手，求出定值，再证明该值与变量无关．
．对于直线过定点问题，常借助直线系的思想寻找定点；或从特殊位置入手，先求出定点，再加以验证．在平面直角坐标系xOyl与抛物线y＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【解】(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y＝4x，消去x得y－4ty－4＝0，设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4t，y＝－4，·＝x＋y＝(ty＋1)(ty＋1)＋y＝t＋t(y＋y)＋1＋y＝－4t＋4t＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y＝4x，消去x得2－4ty－4b＝0.设点A(x，y)，B(x，y)．则y＋y＝4t，y＝－4b，·＝x＋y＝(ty＋b)(ty＋b)＋y＝t＋bt(y＋y)＋b＋y＝－4bt＋4bt＋b－4b＝b－4b.令b－4b＝－4，∴b－4b＋4＝0，∴b＝2，直线l过定点(2，0)．若＝－4，则直线l必过一定点(2，0)．
(2012·浙江高考)如图8－－2，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点(2，1)的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．【规范解答】(1)设椭圆C的左焦点为F(－c，0)．由题意，得得所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x，y)，B(x，y)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)．由消去y，整理得(3＋4k)x2＋8kmx＋4m－12＝0，()则Δ＝64k－4(3＋4k)(4m2－12)>0.＋x＝－，x＝所以线段AB的中点为M(－，)．因为M在直线OP：y＝上，所以＝，则k＝－或m＝0(舍去)．此时方程()为3x－3mx＋m－3＝0，则＝3(12－m)>0，所以|AB|＝－x＝，点P到直线AB的距离d＝＝设△ABP的面积为S，则＝＝，(m＜12且m≠0)．令u(m)＝(12－m)(m－4)，m∈[－2，2]，(m)＝－4(m－4)(m－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.易错提示：(1)不能抓住OP垂直平分线段AB的条件，难以建立m、k的联系(求出k值)，导致运算复杂，解题受阻．(2)对于“S关于m的函数”．忽视由Δ＞0的条件确定m的取值范围，难以利用导数求S取到最大值的条件．防范措施：(1)抓住线段AB的中点M在直线OP上，发掘＝是解题的关键．(2)直线与圆锥曲线相交，一定有Δ＞0，运用函数求最值，要注意检验数形转化的等价性．【解析】由题设p＝＝2，∴a＝抛物线方程为y＝，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.直线过焦点F，联立消去x，整理得y－6y＋1＝0，∴y＋y＝6，所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y＋1＋y＋1＝8.【解】(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当
解得，所以m的取值范围是(，5)．(2)证明当m＝4时，曲线C的方程为x＋2y＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由得(1＋2k)x2＋16kx＋24＝0.因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)－4(1＋2k)×24>0，即k.
设点M，N的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则＝kx＋4，y＝kx＋4，＋x＝，x＝直线BM的方程为y＋2＝，点G的坐标为(，1)．因为直线AN和直线AG的斜率分别为k＝，k＝－，所以k－k＝＋＝＋＝＋＝＋＝0.即k＝k故A，G，N三点共线．
(2013·烟台模拟)已知椭圆的两个焦点分别为(0，－2)，F(0，2)，离心率为e＝(1)求椭圆方程；(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为－，求直线l的倾斜角的取值范围．【思路点拨】(1)已知c和，可直接求a、b，注意焦点在y轴上．(2)可将直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解，也可利用点差法求解．【尝试解答】(1)由已知得c＝2，＝，＝3，∴b＝a－c＝1，故椭圆方程为＋x＝1.(2)由题意知，直线的倾斜角不可能为0和，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)．由得(k＋9)x＋2kmx＋m－9＝0，＝4k－4(k＋9)(m－9)＞0，即k－m＋9＞0①设M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝，线段MN中点的横坐标为－，·＝－，即m＝把②代入①解得k＞3，即k＞或k＜－，直线l的倾斜角的取值范围为(，)∪(，)．
1．解答本题(2)时，也可设M(x，y)，N(x，y)，代入椭圆方程，两式相减，再把＝k，x＋x＝－1，y＋y＝2m－k代入求解．
．(1)凡涉及到弦中点问题常用“点差法”，也可以(2)与抛物线焦点弦长相关的问题，要注意抛物线定义的运用． |
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