第三节圆的方程1．确定圆的方程必须有几个独立条件？【提示】不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？【提示】充要条件是D2＋E2－4F＞0.【答案】D【答案】D3．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0【解析】因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±1【解析】因为点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.【答案】A5．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10已知圆心在直线y＝－4x，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的方程．【思路点拨】(1)设圆的标准方程，待定系数法求解；(2)利用圆的几何性质求圆心和半径．求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．若一三角形三边所在的直线分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________．【思路点拨】根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可用Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0.求圆的方程主要是待定系数法，一般步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程．②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．1.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法有：(1)直接法：直接根据条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线的定义列出方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列出方程．(4)代入法：由动点与已知点的关系列出方程．从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化．规范解答之十一利用待定系数法求圆的方程(12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解题程序】第一步：求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标；第二步：求出圆的标准方程；第三步：联立直线与圆的方程，设出点A、B坐标；第四步：结合韦达定理，由条件OA⊥OB列出关系式，求出a值．易错提示：(1)第(1)小题中，求过三点的圆的方程时，选择方法不恰当，造成构建的方程组过于复杂，导致求解失误．(2)第(2)小题中，不能充分利用一元二次方程根与系数的关系，由条件列出等式．防范措施：(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧.1．(2012·湖北高考)过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.【答案】A2．(2012·淮北联考)已知圆C：x2＋y2＋2ax＋2by＝0(a，b为正实数)关于直线l：x＋y＋2＝0对称，则ab的取值范围是()A．(0，1)B．[0，1)C．[0，1]D．(0，1]【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）定长圆心半径(a，b)r菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是和．圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)，其中为圆心，为半径．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为圆的一般方程对于方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0.(1)当时，表示圆心为(－，－)，半径为的圆；x2＋y＝r
D2＋E－4F＞0
(2)当时，表示一个点(－，－)；(3)当时，它不表示任何图形．点M(x，y)与圆(x－a)＋(y－b)＝r的位置关系(1)若M(x，y)在圆外，则(2)若M(x，y)在圆上，则(3)若M(x，y)在圆内，则D2＋E－4F＝0
D2＋E－4F＜0
(x0－a)＋(y－b)＞r
(x0－a)2＋(y－b)＝r
(x0－a)＋(y－b)＜r
1．(人教版教材习题改编)圆的方程为x＋y＋2by－2b＝0，则圆的圆心和半径分别为()(0，b)，(0，b|b|
C．(0，－b)，(0，－b)，【解析】圆的标准方程为x＋(y＋b)＝3b，从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为2．方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()＜－2或a＞－＜a＜0－2＜a＜0．－2＜a＜【解析】由题意知a＋4a－4(2a＋a－1)＞0，解得－2＜a＜【解析】设圆心坐标为(a，0)，易知＝，解得a＝2，∴圆心为(2，0)，半径为，圆C的方程为(x－2)＋y＝10.【尝试解答】法一设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)，则有解得a＝1，b＝－4，r＝2圆的方程为(x－1)＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．半径r＝2，所求圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8.
【解析】结合题意，解得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)，作出图形可知三角形是以(1，2)，(3，1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形．所以圆的直径为d＝，圆心坐标为(2，)，则圆的方程为(x－2)＋(y－)＝【答案】(x－2)＋(y－)＝
已知实数x、y满足方程x＋y－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x＋y的最大值和最小值．【尝试解答】(1)原方程可化为(x－2)＋y＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±所以的最大值为，最小值为－(2)设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±所以y－x的最大值为－2＋，最小值为2－(3)x2＋y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x＋y的最大值是(2＋)＝7＋4，x2＋y的最小值是(2－)＝7－4
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．若本例中的条件不变．(1)求的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值．【解】(1)原方程可化为(x－2)＋y＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，设＝k，即y＋2＝k(x＋1)．当此直线与圆相切时k取得最大值或最小值，此时＝，解得k＝或k＝∴的最大值为，最小值为(2)x－2y可看作是直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值．此时：＝，＝2＋或b＝2－－2y的最大值为2＋，最小值为2－
【思路点拨】四边形MONP为平行四边形＝＋把点P的坐标转移到动点N上而点N在圆上运动，故可求解．需注意O、M、N三点共线的情况．【尝试解答】∵四边形MONP为平行四边形，＝＋，设点P(x，y)，点N(x，y)，则＝－＝(x，y)－(－3，4)＝(x＋3，y－4)．又点N在圆x＋y＝4上运动，(x＋3)＋(y－4)＝4.又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形．故动点P的轨迹是圆且除，)和(－，)．
【规范解答】(1)曲线y＝x－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C的圆心为(3t)，则有3＋(t－1)＝(2)＋t，解得t＝1.则圆C的半径为＝3.所以圆C的方程为(x－3)＋(y－1)＝9.6分(2)设A(x，y)，B(x，y)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x＋(2a－8x＋a－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a＞0.从而x＋x＝4－a，x＝①8分由于OA⊥OB，可得x＋y＝0.又y＝x＋a，y＝x＋a，所以2x＋a(x＋x)＋a＝0.②10分由①，②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.12分【解】法一设P(x，y)，圆心C(1，1)，点是过点A的弦的中点，⊥，又＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y)，(2－x)(1－x)＋(3－y)(1－y)0，即(x－)＋(y－2)＝，中点P的轨迹方程是(x－)2＋(y－2)＝法二由已知得，PA⊥PC.由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，圆心C(1，1)，＝＝，线段AC的中点坐标为(，2)，故中点P的轨迹方程为(x－)＋(y－2)＝【解析】圆Ca，－b)，根据圆的对称性知，圆心C在直线l上，故a＋b＝2，由于ab≤()＝1，而a＞0，b＞0，故ab∈(0，1]． |
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