第四节直线、圆的位置关系1．若点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，则过点P的圆的切线方程是什么？【提示】x0x＋y0y＝r2.2．两圆相交，公共弦所在直线的方程与两圆的方程有何关系？【提示】两个圆的方程相减得到的方程是公共弦所在直线的方程．1．(人教A版教材习题改编)直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随a的变化而变化【解析】∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】B3．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离5．(2013·徐州质检)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．【思路点拨】(1)根据两圆外切求出圆O2的半径，便可写出圆O2的方程．(2)设出圆O2方程，求出直线AB的方程，根据点O1到直线AB的距离，列方程求解．1．圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．【答案】4【思路点拨】(1)求出圆心到直线的距离，利用“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形求解．或者求出直线与圆的交点，根据弦长公式求解．(2)利用数形结合、结合圆的切线的性质，分析点P满足的条件．1．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径求解．(2)代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．2．求圆的弦长的常用方法：(1)几何法；(2)代数方法．【答案】(1)x＝2或4x＋3y－17＝0(2)x＋y－3＝0直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．从近两年的高考看，直线、圆的位置关系是高考的必考内容，特别是直线与圆的位置关系的判断或求参数的值是每年考查的重点，题型以选择题、填空题为主，属中低档题目．思想方法之十五用转化思想求参数的最大值(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．易错提示：(1)理解不清题目的条件关系，无从入手．(2)不能把问题转化为圆心M(4，0)到直线y＝kx－2的距离，探求不到d≤2的关系．防范措施：(1)解决直线与圆的关系问题应画出草图，数形结合帮助分析题意，找到解决问题的突破口．(2)把已知圆C的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标，分析题目中条件的相互关系，联系相关知识点，把看似繁杂的问题转化为所熟知的点到直线的距离问题．【答案】B2．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）_______________________(r1≠r2)内含___________________________________内切________________________________________相交______________________________外切_________________________相离代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况几何法：圆心距d与r1，r2的关系方法位置关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|无解一组实数解两组不同的实数解一组实数解无解【答案】D【答案】B4．(2012·合肥四校质检)若直线l：4x＋3y－8＝0过圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心且交圆C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．【解析】由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：相交；相切；相离．d＜r
d＝r
d＞r
2．圆与圆的位置关系设圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r＞0)，圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r＞0).2．圆x＋y－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为()＋－2＝0．＋－4＝0－＋4＝0．－＋2＝0【解析】圆的方程为(x－2)＋y＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝切线方程为y－＝(x－1)，即x－＋2＝0.【解析】两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝－2
已知过点A(0，1)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)＋(y－3)＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值2)若O为坐标原点，且＝12，求k的值．【解】(1)∵直线l过点A(0，1)且方向向量a＝(1，k)，直线l的方程为y＝kx＋1.由＜1，得＜k＜(2)设M(x，y)、N(x，y)，将y＝kx＋1代入方程(x－2)＋(y－3)＝1，得(1＋k)x2－4(1＋k)x＋7＝0，＋x＝，x＝，·＝x＋y＝(1＋k)x1x2＋k(x＋x)＋1.＋8＝12，＝4，解得k＝1.
圆O的方程为：x＋(y＋1)＝4，圆O的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O与圆O相外切，求圆O的方程；(2)若圆O与圆O相交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O的方程．【尝试解答】(1)∵圆O的方程为：x＋(y＋1)＝4，圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O的半径为r，由两圆外切知＝r＋r，又|O＝＝2，＝|O－r＝2－2，圆O的方程为(x－2)＋(y－1)＝12－8(2)设圆O的方程为(x－2)＋(y－1)＝r，又圆O的方程为：x＋(y＋1)＝4，两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x＋4y＋r－8＝0，作O于H，则|AH|＝＝，＝2，∴|O＝＝，又|O＝＝，＝，得r＝4或r＝20，圆O的方程为(x－2)＋(y－1)＝4或(x－2)＋(y－1)＝20.
所以O又∵|OA|＝，|O＝2，＝5，又A、B关于OO对称，所以AB为斜边上高的2倍，＝2×＝4.(1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x＋(y－2)＝4截得的弦长为________．(2)(2012·江西高考)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x＋y＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是________．【尝试解答】(1)法一∵x＋(y－2)＝4，圆心坐标为(0，2又点(0，2)到直线y－x＝0的距离为＝，且圆的半径为2，由“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形可知，弦长为＝2法二将y＝x代入x＋(y－2)＝4，解得y＝0或y＝2，故直线y＝x与圆x＋(y－2)＝4的两交点坐标为(0，0)，(2，2)．故|AB|＝2(2)直线与圆P(x，y)，则∠APO＝30，且OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30，则OP＝2，即x＋y＝4.又x＋y－2＝0，联立解得x＝y＝，即P(，)．【答案】(1)2(2)(，)
(1)过点(2，3)且与圆(x－3)＋y＝1相切的直线方程为________．(2)已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．【解析】(1)由于(2－3)32＝10＞1，故点(2，3)在圆外，当斜率不存在时，直线方程x＝2满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y－2k＋3＝0.直线与圆相切，＝1，∴k＝－＋3y－17＝0.所求直线方程为x＝2或4x＋3y－17＝0.(2)设圆心坐标为(a，0)(a＞0)．由题意()＋2＝(a－1)解得a＝3或a＝－1(故圆心坐标为(3，0)，又所求直线的斜率为－1，故所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式＝－x.
【解析】圆C的标准方程为(x－4)＋y＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即整理，得3k－4k≤0.解得0≤k≤故k的最大值为【答案】1．(2013·西安质检)若曲线C：x＋y－2x＝0与曲线C：(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()(－，)．(－，0)∪(0，)[－，]．(－∞，－)∪(，＋∞)【解析】曲线C：(x－1)＋y＝1，曲线C：y＝0或y＝mx＋m，当m＝0时，曲线C：y＝0，此时C与C，显然只有两个交点，不合题意，故m≠0；当m≠0时，要保证曲线C与C有四个不同的交点，只需直线y＝mx＋m与曲线C有两个不同的交点即可，＜1，即m＜，又m≠0，∴－＜m＜0或0＜m＜【解析】由题意知A(，0)，B(0，)，圆的半径为2，且l与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为＝＋n＝，＝|||＝|＝3，即三角形面积的最小值为3.【解析】由题C：x＋y－ax＝0的圆心为(，0)．又直线l：4x＋3y－8＝0过圆C的圆心(，0)，∴4×＋3×0－8＝0，∴a＝4，∴圆C的方程为x＋y－4x＝0，即(x－2)＋y＝4.∴|AB|＝2r＝4.又点O(0，0)到直线l：4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，∴S＝＝＝【答案】 |
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