第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和__________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)若__________，则集合P为椭圆；(2)若__________，则集合P为线段；(3)若__________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？【提示】离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．【解析】依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.【答案】D【答案】B【答案】C1．(1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程．2．涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|整体代换．【思路点拨】(1)根据椭圆的性质，求a，b得椭圆C的方程，(2)直线与椭圆方程联立，求得弦长|MN|，进而表示S△AMN，得k的方程．求椭圆标准方程的方法：(1)定义法，根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法，设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2，b2.1.在解答直线与椭圆相交的问题时，常利用根与系数的关系，设而不求，整体代入．2．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．3．待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．从近两年的高考试题看，椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的热点内容，特别是标准方程和离心率几乎年年涉及，三种题型均有可能呈现，其中解答题以中高档题目为主，其命题特征是常与向量、不等式、最值等知识结合命题，并注重通性通法的求解，在解答时，一定要注意解题的规范化．【解题程序】第一步：化圆为标准方程，确定圆心与半径；第二步：利用待定系数法求椭圆E的标准方程；第三步：设点P(x0，y0)，表示直线l1，l2的方程；第四步：由l1，l2与圆相切，得x0，y0满足的条件；第五步：将点P(x0，y0)代入椭圆方程，联立求x0，y0；第六步：检验反思，查看关键点，易错点，规范答案．易错提示：(1)忽视椭圆的焦点在x轴的条件，导致椭圆方程增解．(2)在第(2)问中，运算不够耐心细致，代数式变换不当，致使运算错误．(3)研究直线与圆、椭圆位置关系时，忽视判别式应用的要求，并忽视检验，导致解题不完整、不规范失分．防范措施：(1)注意题目条件的挖掘．(2)直线l1，l2的斜率k1，k2设而不求，整体代换．(3)强化有关直线与圆、椭圆等联立得一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系及其应用条件，加强通性、通法的应用．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）等于常数2a＞|F1F2|2a＝|F1F2|2a＜|F1F2|－aa－bb－b－a坐标轴原点菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 ≤x≤___
_____≤y≤___ _____≤x≤b
_____≤y≤a
性质 对称性 对称轴：；对称中心： 顶点 A(－a，0)，A(a，0)(0，－b)，B(0，b)A1(0，－a)，A(0，a)(－b，0)，B(b，0) 离心率 e＝(0，1) a，b，c的关系 c＝a－b
1．(人教版教材习题改编)设P是椭圆＋＝1上的点，若F、F是椭圆的两个焦点，则|PF＋|PF等于()．．2．(2013·兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的()充分不必要条件．必要不充分条件充要条件．既不充分也【解析】要使方程＋＝1表示椭圆，应满足－m＞0，m＋3＞0且5－m≠m＋3，解之得－3＜m＜5且m≠1，－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()－21．－或21或21【解析】若a＝9，b＝4＋k，则c＝，由＝即＝，得k＝－；若a＝4＋k，b＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.4．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为________．【解析】由题意知＝，c＝4，＝8，∴b＝a－c＝64－16＝48，椭圆方程为＋＝1.【答案】＋＝1(1)已知F、F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若△PF的面积为9，则b＝________．(2)已知F，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF轴，|F＝＋，求椭圆的方程．【思路点拨】(1)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF＋|PF＝2a，再利用，进而得解．(2)注意到条件OP∥AB，PF轴，必须借助点P的坐标沟通a，b，c间的联系，只需求直线OP的方程．【尝试解答】(1)由题意知|PF＋|PF＝2a，，＋|PF＝|F＝4c，(|PF1|＋|PF)2－2|PF＝4c，＝4a－4c＝4b＝2b，＝＝＝9b＝3.【答案】3(2)由题意，A(a，0)，B(0，b)，F(－c，0)，O(0，0)．P∥AB，＝k＝－，因此直线OP的方程为y＝－，代入椭圆＋＝1，得x＝±，由PF轴，知x＝－，从而－＝－c，即a＝，①又|F＝a＋c＝＋联立①，②，得a＝，c＝，＝a－c＝5，所以该椭圆方程为＋＝1.
(2013·九江质检)设椭圆的焦点在x轴，过点(1，)，作圆x＋y＝1的切线，切点分别为点A，B.若直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，试求椭圆的标准方程．【解】依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，＝1是圆x＋y1的一条切线，椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.设点P(1，)，则k＝，、B为圆x＋y＝1的切点，，从而k＝－2，∴直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2)，从而b＝2，因此a＝b＋c＝5，故椭圆的标准方程为＋＝1.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，点P(a，b)满足|PF＝|F(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF与椭圆相交于A，B两点PF2与圆(x＋1)＋(y－)＝16相交于M、N两点，且|MN|＝，求椭圆的方程．【思路点拨】(1)由|PF＝|F寻找a，b，c的等量关系，进而计算e＝；(2)求直线PF的方程，与椭圆、圆联立求点A、B、M、N的坐标，利用|MN|＝，求出a，b的值，即可写出椭圆方程．【尝试解答】(1)设F(－c，0)，F(c，0)(c＞0)，因为|PF＝|F，则＝2c，整理得2()＋－1＝0，＝－1(舍)或＝，所以椭圆的离心率e＝(2)由(1)知a＝2c，b＝，得椭圆方程为3x＋4y＝12c，直线PF的方程为y＝(x－c)．、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x－8cx＝0.解得x＝0，x＝得方程组的解不妨设A(，)，B(0，－)，所以|AB|＝＝于是|MN|＝＝2c.圆心(－1，)到直线PF的距离＝＝因为d＋()＝4，所以(2＋c)＋c＝16.整理得7c＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
1．求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
．与a，b间的关系e＝＝1－()如图8－5－1所示，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F、F分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF交椭圆于另一点B.(1)若∠F＝90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．【解】(1)∵|AF＝|AF＝a，且∠F＝90，|F＝2c，＝4c＝，∴e＝＝(2)由题知A(0，b)，F(1，0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－，代入＋＝1，得＋＝1，＋＝1，解得a＝3.∴b＝a－c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
(2012·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程．(2)当△AMN的面积为时，求k的值．【尝试解答】(1)由题意得解得b＝所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k)x2－4k＋2k－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则y1＝k(x－1)，y＝k(x－1)，x＋x＝，＝所以|MN|＝＝＝又因为点A(2，0)到直线y＝kx－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为＝＝由＝，解得k＝±1.
1．本题求解首先由椭圆性质、题设条件，求椭圆的方程；再利用方程思想，由参数k表示弦长(面积)，求待定参数．
．直线与椭圆的位置关系：(1)消去y，整理成形如Ax＋Bx＋C＝0(A≠0)的形式．再根据△的大小判断直线与椭圆有几个公共点．(2)若直线与椭圆交于A(x，y)，B(x，y)两点，则|AB|＝＝.
1.椭圆＋＝1的焦点位置与m、n间的关系：椭圆焦点在x轴上＞n＞0；椭圆焦点在y轴上＞m＞0.椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.规范解答之十直线与椭圆交汇问题的求解策略(13分)(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x＋y－4x＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l，l，当直线l，l都与圆C相切时，求点P的整点坐标．(坐标为整数)【规范解答】(1)由x＋y－4x＋2＝0，得(x－2)＋y＝2，∴圆C的圆心C(2，0)，椭圆焦点在x轴上，2分设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝，＝2c＝4，b＝a－c＝12，故椭圆E的方程为＋＝1.5分(2)设点P的坐标为(x，y)，(x，y)
l1，l的斜率分别为k，k，则l，l的方程分别为l：y－y＝k(x－x)，l：y－y＝k(x－x)，且k＝7分由l与圆C：(x－2)＋y＝2相切得＝，[(2－x)2－2]k＋2(2－x)y0k1＋y－2＝0.同理可得[(2－x)2－2]k＋2(2－x)y0k2＋y－2＝0.从而k，k是2－x)2－2]k＋2(2－x)y0k＋y－2＝0的两个实根，于是且k＝＝10分由得，5x－8x－36＝0.解之得x＝－2或x＝(?Z，舍去)．由x＝－2，得y＝±3均满足不等式组①.故点P的坐标为(－2，3)或(－2，－3).13分1．(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F、F若|AF，|F，成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【解析】由题意知|AF＝a－c，|F＝2c，|F＝a＋c，且三者成等比数列，则|F＝|AF，＝a－c，a＝5c，所以e＝，所以e＝【答案】2．(2012·陕西高考)已知椭圆C：＋y＝1，椭圆C以C的长轴为短轴，且与C有相同的(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C和C上，＝2，求直线AB的方程．【解】(1)由已知可设椭圆C的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)法一A，B两点的坐标分别记为(x，y)，(x，y)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x2＝4，所以x＝将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k)x2＝16，所以x＝又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.法二A，B两点的坐标分别记为(x，y)，(x，y)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x2＝4，所以x＝由＝2，得x＝，y＝将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k＝1＋4k，解得k＝±1.AB的方程为y＝x或y＝－x.2．对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F，F为其左、右焦点．当点P(x0，y)落在椭圆外、椭圆上、椭圆内时，|PF＋与2a有怎样的大小关系？与方程有怎样的关系？【提示】当点P落在椭圆外时，|PF＋|PF＞2a，＋＞1；当点P落在椭圆上时，|PF＋|PF＝2a，＋＝1；当点P落在椭圆内时，|PF＋|PF＜2a，＋＜1.5．(2012·四川高考)椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．【解析】设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋F′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝【答案】已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(－3，2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．【解】(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2又b＝a－c＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由得4x＋6mx＋3m－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x，y)，(x，y)(x1＜x)，AB中点为E(x，y)，则＝＝－，y＝x＋m＝因为AB是等腰△PAB的PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x＋12x＝0，解得x＝－3，x＝0，所以y＝－1，y＝2.所以|AB|＝3，又点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离＝＝所以△PAB的面积S＝＝ |
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