第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l______________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l倾斜角的范围是_____________．3．直线方程的五种形式1．如何正确认识倾斜角与斜率的关系？【提示】(1)直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角α≠时，斜率k＝tanα.(2)从函数角度看，k是α的函数，其变化规律用表格表示如下：2.过点(x0，y0)的直线是否一定可设为y－y0＝k(x－x0)?【提示】不一定，若斜率不存在，直线方程为x＝x0；若斜率存在，直线方程才可设为y－y0＝k(x－x0)．【答案】B2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或13．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－34．已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________．【思路点拨】(1)分别设出P、Q点的坐标，利用中点坐标公式求解．(2)根据cosα的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．【答案】(1)B(2)B已知点A(3，4)，求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【思路点拨】(1)分截距等于0和不等于0两种情况求解．(2)直线的斜率为±1，可由点斜式写出直线方程．(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点(3，4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.1．截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图8－1－1所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【思路点拨】本题中条件与截距有关，可设直线方程为截距式，也可根据直线过点P(3，2)，把直线方程设为点斜式，然后求出横纵截距．1．解答本题的关键是面积最小值的求法，两种解法都使用了均值不等式，仔细体会法一中的解法．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．在本例条件下，求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程．斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．1.求直线的倾斜角时要注意其范围．2．应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点．直线的倾斜角与斜率、直线方程一般不单独考查，多与导数、圆、圆锥曲线等其他知识点交汇命题，结合直线的斜率与方程，考查其他曲线的综合应用．考查转化思想及数形结合思想的应用．思想方法之十四转化思想在直线方程中的应用(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图8－1－2所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为()A．5B．7C．9D．11【答案】C易错提示：(1)本题出错主要原因是不能将问题转化为图象上的点与原点连线的斜率问题．(2)题意理解不清、盲目作答．防范措施：(1)正确理解和掌握斜率公式的结构特征，并灵活应用．(2)提高分析问题、解决问题的能力，注意文字、图形、符号间转化．【答案】A2．(2013·江门模拟)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C菜单课后作业网络构建·览全局策略指导·备高考新课标·文科数学（安徽专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情向上方向平行或重合[0，π)【答案】D【答案】B【答案】－3【答案】D菜单课后作业网络构建·览全局策略指导·备高考新课标·文科数学（安徽专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90，则斜率k＝(2)P1(x1，y)，P(x2，y)在直线l上，且x，则l的斜率k＝tanα
名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x＝x 斜截式 不含垂直于x轴的直线 两点式 不含直线x＝x(x1≠x2)和直线y＝y(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面内所有直线都适用
y－y＝k(x－x)
y＝kx＋b
＝
＋＝1
Ax＋By＋C＝0，＋B
1．(人教版教材习题改编)直线－y＋a＝0的倾斜角为()．．．【解析】k＝＝，且0＜180，∴α＝60【解析】当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，所以在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝，得a＝－2或a＝1.【解析】圆的方程(x＋1)＋(y－2)＝5，圆心为(－1，2)．直线过圆心，(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.【解析】由已知得＝，∴x＝－3.5．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________，斜截式方程是________．【解析】∵直线y＝的倾斜角α＝30，所以所求直线的倾斜角为60A(2，－3)，故所求直线的方程为y－(－3)＝(x－2)，即－y－2－3＝0，化成斜截式为y＝－－3.【答案】－y－2－3＝0y＝－2－3
(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()．－．－
(2)直线x＋＋2＝0的倾斜角的范围是()[，)∪(，]．[0，]∪[，)
C．[0，]．[，]【尝试解答】(1)设P(x，1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1，＝－5，y＝－3，即P(－5，1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝＝－(2)设直线的倾斜角为θ，则＝－，又[－1，1]，∴－，又0≤θ＜，且y＝在[0，)及(，)上均为增函数，故θ∈[0，]∪[，)．
1．解答本例(2)时极易错选，出错的原因是忽视了正切函数在[0，)和(，)上的变化情况．
．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k＝的值域问题；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在[0，)∪(，)上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k＝在[0，)∪(，)上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．
(2013·郑州质检)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()－1＜k＜＞1或k＜＞或k＜1．＞或k＜－1【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞【尝试解答】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)直线的方程为y＝，即4x－3y＝0.若a≠0，则设所求直线的方程为＋＝1，又点(3，4)在直线上，＋＝1，∴a＝7，直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y7＝0.【尝试解答】法一设直线l的方程为＋＝1(a＞0，＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，△ABO的面积S＝，直线l过点P(3，2)，＋＝1≥2，即ab≥24.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时取等号．∴S＝，当且仅当a＝6，b＝4时有最小值12.此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.法二设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)．令x＝0，得y＝2－3k，令y＝0，得x＝3－，即A(3－，0)，B(0，2－3k)．＝(2－3k)(3－)＝[12＋(－9k)＋][12＋2]＝(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝时，即k＝－时，等号成立．即△ABO面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
【解】设l的斜率为k(k＜0)，则l的方程为y＝k(x－3)＋2，令x＝0，得B(0，2－3k)；令y＝0，得A(3－，0)．在两轴上的截距之和为－3k＋3－＝5＋[(－3k)＋(－)]≥5＋2，(当且仅当k＝－时，等号成立)，∴k＝－时，l在两轴上截距之和最小，此时l的方程为＋3y－3－6＝0.【解析】依题意表示图象上的点(n，S)与原点连线的斜率，由图象可知，当n＝9时，最大，故m＝9.1．(2013·烟台模拟)已知{a是等差数列，a＝15，S＝55，则过点P(3，a)，Q(4，a)的直线斜率为()C．－4．－14【解析】∵{a为等差数列，a＝15，S＝55，＋a＝22，∴2a＝22，∴a＝11，＝＝4.【解析】由题意知A·B·C≠0，直线方程变y＝－－，B·C<0，∴A·B>0，其斜率k＝－，又y轴上的截距b＝－直线过第一、二、四象限．倾斜角 0 (0，) (，)
斜率 取值 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 增减性 递增 递增
(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．【解】(1)设所求直线的斜率为k，依题意＝－4×＝－又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－，直线方程为y＝－，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
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