第四节二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：f(x)＝_______________(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为______；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的性质2.幂函数(1)定义：形如________(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是_________，α是常数．(2)幂函数的性质1．ax2＋bx＋c＞0(a≠0)与ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？【解析】根据幂函数的图象知，选A.【答案】A3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增 B．先增后减C．单调递减 D．单调递增【解析】∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，∴2m＝0，∴m＝0.则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数．【答案】D4．(2012·西城一模)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，且当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．(－1，0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)【解析】∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1，1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1，故选C.【答案】C5．(2013·安庆模拟)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜0的解集为R，则实数m的取值范围是________．【答案】(－4，0](2013·盐城模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．【思路点拨】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．1．本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数．2．研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．3.求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.(2013·龙岩模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．(2)由题意，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．则m＜x2－3x＋1在[－1，1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，易知g(x)在x∈[－1，1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝－1，应有m＜－1.因此实数m的取值范围是(－∞，－1). 设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值．都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．1．本题中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情况讨论．2．由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．【思路点拨】二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论．从2012年全国各省市命题看，对二次函数、幂函数的考查多以客观题为主，重点考查二次函数的应用，方程根的分布，并且蕴含分类讨论和转化化归等数学思想方法．思想方法之二分类讨论思想在二次函数中的应用 (2013·大连调研)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值．【规范解答】(1)∵f(0)＝－a|－a|≥1，∴－a＞0，即a＜0.由a2≥1，知a≤－1.则a的取值范围是(－∞，－1]．易错提示：(1)求函数的最值时，对a找不到分类的标准导致无法求解．(2)分类求最值时，最小值求解不正确．防范措施：(1)二次函数求最值时，应从对称轴与区间端点的大小关系入手，从三个方面讨论．(2)分段函数求最值，应求出每一段的最值，然后比较大小．【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）ax2＋bx＋c(h，k)R定义域图象y＝ax2＋bx＋c(a＜0)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)函数对称性单调性________________________值域减增增减y＝xα自变量【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）[，＋∞)
(－∞，]
在(－∞，－]在[－，＋∞)在(－∞，－]在[－，＋∞)1．(人教版教材习题改编)已知点M(，3)f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()(x)＝x(x)＝x－2(x)＝x(x)＝x－【解析】设f(x)＝x，则有3＝()，即3＝3－，－＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，故选2．图中C，C，C为三个幂函数y＝x在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()－1，，3．－1，3，，－1，3，3，－1【解析】当m＝0时，不等式为－1＜0，符合题意当m≠0时，则有即－4＜m＜0综上知，－4＜m≤0.【尝试解答】(1)当a＝－2时，f(x)＝x－4x＋3＝(x－2)－1，则函数在[－4，2)上为减函数，在(2，6]上为增函数，(x)min＝f(2)＝－1，(x)max＝f(－4)＝(－4)－4×(－4)3＝35.(2)函数f(x)＝x＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，要使f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x－2|x|＋3＝其图象如图所示：【解】(1)由f(0)＝1，得c＝1.因此f(x)＝ax＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.x∈R.因此∴所以f(x)＝x－x＋1.【思路点拨】法一分a＞0，a＝0，a＜0三种情况求出(x)在(1，4)上的最小值f(x)，再令f(x)＞0求解．法二分离参数a得a＞－＋，然后求g(x)＝－＋的最大值即可．【尝试解答】法一当a＞0时，f(x)＝a(x－)＋2－，由f(x)＞0，x∈(1，4)得：或
∴或或，∴a≥1或＜a＜1或，即a＞，当a＜0时，，解得a∈；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是{a|a＞法二由f(x)＞0，即ax－2x＋2＞0，x∈(1，4)，得a＞－＋在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－＋＝－2(－)＋，∈(，1)，∴g(x)＝g(2)＝，所以要使f(x)＞0在(1，4)上恒成立，只要a＞即可．故实数a的取值范围为{a|a＞
【解】(1)x，x是方程f(x)＝0的两个根．由韦达定理，得即＝0，c＝－1.(2)由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，∴c＝－1－2b.记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x＋(2b＋1)x＋b＋c＝x＋(2b＋1)x－b－1，则＜b＜，即b的取值范围为(，).
已知幂函数f(x)＝x－2m－3(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)＜(3－2a)的实数a的取值范围．【尝试解答】∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，－2m－3＜0，解之得－1＜m＜3.又m∈N，∴m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．2－2m－3|为偶数，又当m＝2时，|m－2m－3|为奇数，＝2舍去．因此m＝1.又y＝x在[0，＋∞)上为增函数，∴(a＋1)＜(3－2a)等价于0≤a＋1＜3－2a，解之得－1≤a＜，故实数a的取值范围是{a|－1≤a＜
1．本题求解的关键是利用幂函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．
2．当α≠0，1时，幂函数y＝x在第一象限的图象特征(如图所示)：(1)α＞1，图象过点(0，0)，(1，1)，下凸递增，如y＝x；(2)0＜α＜1，图象过点(0，0)，(1，1)，上凸递增，如y＝x；(3)α＜0，图象过点(1，1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝x－函数y＝f(x)对称轴的判断方法对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数).
(2)记f(x)的最小值为g(a)．我们有(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝(i)当a≥0时，f(－a)＝－2a，由①②知f(x)≥－2a，此时g(a)＝－2a(ii)当a＜0时，f()＝若x＞a，则由①知f(x)≥；若x≤a，则x＋a≤2a＜0，由②知f(x)≥2a2＞a2.
因此g(a)＝a2.
综上得g(a)＝【提示】(1)ax＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是其几何意义是抛物线恒在x轴上方；(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是其几何意义是抛物线恒在x轴下方．2．幂函数与指数函数有何不同？y＝(x＋1)，y＝x－1，y＝是幂函数吗？【提示】幂函数与指数函数的本质区别就在于自变量的位置不同，幂函数的自变在所给的三个函数中只有y＝是幂函数．1．(2013·长沙模拟)已知函数f(x)＝ax－的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥，则a＝________．【解析】f(x)＝－(x－)＋，(x)max＝，得－1≤a≤1，对称轴为x＝当－1≤a＜时，[，]是f(x)的递减区间，而f(x)≥f(x)min＝f()＝－?a≥1，与－1≤a＜矛盾；当时，≤，且＜＝，所以f(x)＝f()－?a≥1，而，所以a＝1.2．(2013·汕头模拟)已知函数f(x)＝满足f(c)＝(1)求常数c的值；(2)解不等式：f(x)＜2.【解】(1)依题设0＜c＜1，∴c＜c.(c2)＝c＋1＝，∴c＝(2)由(1)知f(x)＝当0＜x＜时，f(x)＜2x＋1＜2，＜x＜当＜1时，f(x)＜2＋x＜2，解之得＜，综合①、②知f(x)＜2的解集为(0，)．函数的图象关于x＝－对称
(2013·大同模拟)若a＜0，则下列不等式成立的是()＞()＞(0.2)．(0.2)＞()＞2a()a＞(0.2)a＞2a．＞(0.2)＞()a
【解析】∵a＜0，∴y＝x在(0，＋∞)上是减函数，＞()＞2a，故选 |
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