第五节指数与指数函数(3)有理数指数幂的运算性质：①ar·as＝________(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝________(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图象与性质1．如图2－5－1是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？【提示】图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1＞d1＞1＞a1＞b1，∴c＞d＞1＞a＞b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．2．函数y＝ax，y＝a|x|(a＞0，a≠1)二者之间有何关系？【提示】函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．【答案】B【答案】D【解析】由题意得0≤16－4x＜16，∴函数的值域是[0，4)．【答案】C4．(2013·三明模拟)当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．【解析】∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2，此时，f(2)＝－2，因此必过定点(2，－2)．【答案】(2，－2)5．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2－1)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算．1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 已知f(x)＝|2x－1|，(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数．【思路点拨】(1)作出f(x)的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x＋1)图象，数形结合求解．(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝x2的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x＋1)的图象，如图所示．(3)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象如图所示，有四个交点，故g(x)有四个零点．1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？【解】函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解.【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解．(2)先求函数的定义域，再判断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x＞0的情况．1．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞0时的情况．∵x1＜x2，∴当a＞1时，ax2＞ax1＞0，从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)为R上的增函数，当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0，从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)为R上的减函数．分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．1.指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．2．换元时注意换元后“新元”的范围．从近两年高考看，本节多以指数函数为载体，考查指数运算和指数函数的图象与性质的应用；题型以选择题、填空题为主，中低档难度，预计2014年仍延续这一特点，对指数函数与二次函数结合的题目，重点注意参数的计算与比较大小．思想方法之三构造法在指数幂大小比较中的应用易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识，造成思维受阻．(2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目作答，造成误解．防范措施：(1)比较幂的大小时，若底数不同，首先看能否化为同底；(2)不能用函数的单调性比较大小的，一般要找中间量比较．2．(2012·上海高考)方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．【解析】法一原方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，由于2x＞0，x∈R，∴2x－3＝0，即x＝log23.法二令t＝2x，则t＞0，原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)，即2x＝3，∴x＝log23.【答案】log23【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（浙江专用）a的n次方根根式aar＋sarsarbr在R上是________在R上是_______当x>0时，______；当x<0时，_____当x>0时，_______；当x<0时，________过定点_________性质_______________值域____定义域图象01R(0，＋∞)(0，1)y>101增函数减函数菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．指数幂的概念与性质(1)根式xn＝a，则x叫做，其中n＞1且n∈N式子叫做．(2)根式的性质：①()＝；＝1．(人教版教材习题改编)化简[(－2)]－(－1)0的结果为()－9．．－10D．【解析】[(－2)]－(－1)＝(2)－1＝8－1＝7.2．化简(x＜0，y＜0()－2x【解析】＝＝2x＝－2x3．(2013·烟台模拟)函数y＝的值域是()[0，＋∞)．[0，4][0，4)．(0，4)【解析】由题意知0＜a－1＜1，∴1＜a＜2，即1＜a＜或－＜a＜－1.【答案】(－，－1)∪(1，)化简：(1)(a＞0，b＞0)；(2)(－)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)【尝试解答】(1)原式＝＝a＋－1＋1＋－2－＝ab－1(2)原式＝(－)－＋()－－＋1＝(－)＋500－10(＋2)＋1＝10－10－20＋1＝－
【尝试解答】(1)由f(x)＝|2－1|＝可作出函数的图象如图．因此函数f(x)在(－∞，0)上递减；函数(x)在(0，＋∞)上递增．由图象知，当|2＋1－1|＝|2－1|时，解得x＝，两图象相交，从图象可见，当x＜时，(x)＞f(x＋1)；当x＝时，f(x)＝f(x＋1)；当x＞时，f(x)＜f(x＋1)．(1)函数f(x)＝()－x－4x＋3的单调递减区间为________，值域为________．(2)(2013·黄冈模拟)已知f(x)＝(＋)x(a＞0且a≠1)．f(x)的奇偶性；求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．【尝试解答】(1)令g(x)＝－x－4x＋3＝－(x＋2)＋7，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝()在R上为单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减．又g(x)＝－(x＋2)＋7≤7，∴f(x)≥()＝3－7【答案】(－∞，－2)[3－7，＋∞)(2)①由于a－1≠0，则a，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}．对于定义域内任意x，有(－x)＝(＋)(－x)＝(＋)(－x)＝(－1－＋)(－x)＝(＋)x＝f(x)．(x)是偶函数．②由①知f(x)为偶函数，只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，即(＋)x＞0，即＋＞0，即＞0，即a－1＞0，a＞1，a＞a又∵x＞0，∴a＞1.因此a＞1时，f(x)＞0.
(2013·金华模拟)已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性．
【解】(1)f(x)的定R，令y＝，得a＝－＞0，∴－＞0，解得－1＜y＜1，(x)的值域为{y|－1＜y＜1}．(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，(x)是奇函数．(3)f(x)＝＝1.
设x，x是R上任意两个实数，且x＜x，则f(x)－f(x)＝－＝画指数函数y＝a(a＞0且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)．
(2012·天津高考)已知a＝2，b＝()－0.8，c＝2，则a，b，c的大小关系为()【解析】b＝()－0.8＝2＝a，c＝2＝＝1<2＝b，故c0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为mg(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．【解析】若a>1，有a＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时(x)＝－为减函数，不合题意．若0
＝(a)÷(a2)＝a÷a＝1.(2)∵m＋m－＝4，＋m－1＋2＝16，＋m－1＝14，＝＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
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