第一节函数及其表示1．函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫函数的_______；函数值的______________是函数的值域．(2)如果两个函数的________相同，并且_________完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有_______、________和_______．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值域等于各段函数的值域的_______，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．若两个函数的定义域与值域相同，则一定是相等函数，这种说法对吗？【提示】不对．如y＝sinx和y＝cosx的定义域都为R，值域都为[－1，1]，但不是相等函数判定两个函数是同一函数，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同．2．如何判断坐标平面上的曲线是否为函数的图象？【提示】平移与x轴垂直的直线，若平移过程中直线与曲线的公共点不超过1个，则曲线为函数的图象．【答案】A【答案】C3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，则其值域为________．【解析】列表如下：由表知函数的值域为{0，－1，3}．【答案】{0，－1，3}【答案】{x|x≥－1且x≠0}【思路点拨】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可．(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解．1．题(2)中易理解错f(x)与f(2x)定义域之间的关系．2．(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍．(2)对抽象函数：①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(1)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)的解析式；(2)已知2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1，1)，求f(x)的解析式．【解】(1)令t＝1－cosx，则cosx＝1－t，0≤t≤2，∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，即f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．【思路点拨】(1)由x≥A时，f(x)＝15知，4＜A，从而可列方程组求解．(2)分－1≤x＜0和0＜x≤1两种情况求解．【答案】(1)D(2)B1．解答本题(2)时，因自变量范围不确定应分类求解．2．应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．3．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．【解析】由题设，f(x)＝2－x2≤1，得当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2；当－1＜x＜1时，fM(x)＝1.∴fM(0)＝1.【答案】B求复合函数y＝f(g(x))的定义域的方法(1)若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；(2)若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(x)的定义域．1.解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．2．用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是集合A、B和对应关系f.从近两年高考试题看，函数的定义域、分段函数与分段函数有关的方程、不等式是考查的重点内容，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，预计2014年仍以分段函数及应用为重点，同时应特别关注与分段函数有关的方程的问题．思想方法之一数形结合求解分段函数问题易错提示：(1)没有化简函数解析式，从而无法画出函数图象求解．(2)不知道直线恒过定点(0，－2)，无法确定k的取值范围．防范措施：(1)解析式含有绝对值符号的函数，一般要去掉绝对值符号，把函数化为分段函数，利用几何直观求解．(2)直线方程中x或y的系数含有参数时，直线恒过定点，可通过该点旋转直线寻找满足条件的k的取值范围．【解析】根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.【答案】B2．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x【解析】将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.【答案】C【答案】(0，1)∪(1，4)菜单课后作业网络构建·览全局策略指导·备高考新课标·文科数学（安徽专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个元素x，在集合B中_________的元素y与之对应如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____一个x，在集合B中都有____________的数f(x)和它对应对应关系f：A→B设A、B是两个______________设A、B是两个______________两集合A、B映射函数非空数集非空集合任意唯一确定任意都有唯一称___________为从集合A到集合B的一个映射称__________为从集合A到集合B的一个函数名称f：A→Bf：A→B定义域集合{f(x)|x∈A}定义域对应关系解析法图象法列表法对应关系并集并集30－10y3210x菜单课后作业网络构建·览全局策略指导·备高考新课标·文科数学（安徽专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情1．(人教版教材习题改编)给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)＝＋是一个函数；函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；(x)＝与g(x)＝是同一函数．其中正确的有()个．个．个．个【解析】由函数的定义知①正确．满足f(x)＝＋的x不存在，∴②不正确．又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．2．下列函数中，与函数y＝x相同的是()＝＝()＝＝2【解析】因为y＝＝x(x≠0)；y＝()＝x(x≥0)；＝＝x(x∈R)；y＝2＝x(x＞0)，故选4．(2012·江西高考改编)设函数f(x)＝则(f(3))＝________．【解析】由题意知f(3)＝，f()2＋1＝，(f(3))＝f()＝【答案】5．(2012·广东高考)函数y＝的定义域为________．【解析】要使函数有意义，需解得原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．(1)(2013·大连模拟)求函数f(x)＝的定义域；(2)已知函数f(2)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域；【尝试解答】(1)要使该函数有意义，需要则有：解得：－3＜x＜0或2＜x＜3，所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)∵f(2x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，≤2x≤2，故f(x)的定义域为[，2]．
(1)已知f(＋1)＝，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f()＝x(x≠0)，求f(x)．【审题视点】(1)用换元法，令＋1＝t；(2)本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．(3)用代入，构造方程求解．【尝试解答】(1)令t＝＋1，则x＝，(t)＝，即f(x)＝.
(2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)＋b(x＋1)－ax－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，即∴f(x)＝－＋2.(3)∵f(x)＋2f()＝x，()＋2f(x)＝解方程组得f(x)＝－(x≠0)．
求函数解析式常用以下解法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f(x)与f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构f(x)．(2)∵2f(x)－f(－x)＝(x＋1)，(－x)－f(x)＝(1－x)．解方程组得(x)＝(x＋1)＋(1－x)(－1＜x＜1).
(1)(2013·郑州模拟)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件15分钟，那么c和A的值分别是()A．75，25B．75，16，25D．60，16(2)已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为()(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[－1，－)∪(0，1](－∞，0)∪(1，＋∞)．1，－]∪(0，1)【尝试解答】(1)因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15，①
所以必有4＜A，且＝＝30.②
联立①②解得c＝60，A＝16.(2)①当－1≤x＜0时，0＜－x≤1f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，(x)－f(－x)＞－1化为－2x－2＞－1，得x＜－，则－1≤x＜－②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1，解得x＜，则0＜x≤1.故所求不等式的解集为[－1，－)∪(0，1]．(2012·天津高考)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．【解析】根据绝对值的意义，y＝＝在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0
(2012·“江南十校”联考)设函数y＝f(x)在R上有定义．对于给定的正数M，定义函数f(x)＝则称函数f(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x，M＝1，则f(0)的值为()B．1C.D．－ |
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