1．本题(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式．2．三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”帮助我们找到变形的方向．给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示．(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式．(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角．(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．题型全面，难度中低档，源于教材，主要考查公式的灵活运用，三角恒等变换能力以及化归转化等数学思想．规范解答之五三角函数的给值求值问题易错提示：(1)在利用诱导公式求sinα时，符号出错．(2)在利用两角和的余弦公式时，公式记忆不准确，导致失误．防范措施：(1)在利用诱导公式时，先判断角的范围，确定三角函数值的符号，再写出结果．(2)对于两角和与差的余弦公式，应特别注意符号的差别，防止出错．【解析】a＝(1，cosθ)，b＝(－1，2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝0.【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ?sinαsinβtan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)2sinαcosα2cos2α－11－2sin2α【答案】C【答案】B【答案】D【答案】A【答案】B1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)六个公式：(α±β)＝；；(α±β)＝(2)公式(α±β)的变形：＋＝；－＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)三个公式：＝；＝－＝＝；＝(2)公式、的变形：＝；＝；③cos2α＝．
1．(人教版教－的值是() B. C．－－【解析】－＝－(－sin26°)＝－＝－2．下列各式中，值为的是()－－1．＋
【解析】2sin＝＝，－＝＝，－1＝－＝－，＋＝1.故选3．已知(α＋β)＝3，(α－β)＝5，则＝() B．－ D．－【解析】＝[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－4．若＝－，α是第三象限角，则(α＋)＝()－C．－
【解析】由题意知＝－sin(α＋)＝＋＝－＋(－)×＝－5．(2012·江西高考)若＝，则＝()－ C．－
【解析】由＝，等式左边分子、分母同除得，＝，解得＝－3，则＝＝化简：(1)(1＋)；(2)(0＜θ＜)．【尝试解答】(1)(1＋)
＝()
＝＝＝＝＝＝1.(2)由θ∈(0，)，得0＜＜，＞0.因此＝＝.
又(1＋＋)(sin－)
＝(cos＋)(sin－)
＝(sin2－)＝2coscosθ.
故原式＝＝－
化简：(1)＋2；(2).
【解】(1)＋2＝＋2＝＋2＝－＋2(－)
＝－(2)原式＝＝＝＝＝
(1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若(α＋)＝，则(2α＋)的值为________．(2)(2013·烟台模拟)已知(α－)＋＝，则(α＋)＝________．【尝试解答】(1)∵α为锐角且(α＋)＝，(α＋)＝(2α＋)＝[2(α＋)－]＝(α＋)cos－(α＋)sin
＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]＝××－[2×()2－1]＝－＝.
(2)cos(α－)＋＝＋＋＝cosα＋sinα＝sin(α＋)＝.
【答案】(1)(2)
已知0＜β＜＜α＜，(－α)＝，(＋β)＝，求(α＋β)的值．【解】因为(＋β)＝[＋(cos(＋β)＝，又因为0＜β＜＜α＜，所以＜＋β＜，－＜－α＜－，故(＋β)＝＝，(－α)＝－＝－＝－所以(α＋β)＝[(＋β)－(－α)]＝(＋β)(－α)－cos(＋β)(－α)＝－(－)＝
已知0＜α＜＜β＜，＝，(β－α)＝(1)求的值；(2)求β的值．已知＝，(α－β)＝，且0＜β＜α＜，试求角β的值．【解】由＝，0＜α＜，得＝＝＝由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜又∵(α－β)＝，(α－β)＝＝，由β＝α－(α－β)，得＝[α－(α－β)]＝(α－β)＋(α－β)＝＋＝又0＜β＜，所以β＝1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝(α＋)－(＋β)．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．(12分)(2012·广东高考)已知函数f(x)＝(＋)，x∈R，且f()＝(1)求A的值；(2)设α，β∈[0，]f(4α＋)＝－，f(4β－)＝，求(α＋β)的值．【规范解答】(1)由f()＝得A(＋)＝，2分即A·＝，∴A＝2.4分(2)由(1)知f(x)＝2(＋)．由得6分解得8分，β∈[0，]，∴＝＝，＝＝. ········· 10分
(1＋)
sin2α
(1－)
【思路点拨】(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；(2)统一为的三角函数，变形化简．【思路点拨】(1)2α＋＝2(α＋)－，求出α＋的正弦、余弦，再代入求解；(2)先用两角差的余弦公式展开(α－)，再逆用公式合并，最后用诱导公式求(α＋＝cosα＋sinα＝sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝，(α＋π)＝(π＋α＋)＝－(α＋)＝－.
【尝试解答】(1)由＝tanα＝＝，＝，①又＋＝1，②由①、②联立，得＝16，＜α＜，∴＝(2)由(1)知，＝，＝0＜α＜＜β＜，∴0＜β－α＜由(β－α)＝，得0＜β－α＜(β－α)＝＝，＝[(β－α)＋α]＝(β－α)＋(β－α)·＝＋＝＝由＜β＜得β＝
1．第(2)问中，由＝易错误得出＝，这些错误的原因都是忽视了角的范围．
．给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小．其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为(－，)，选正弦较好．∴cos(α＋β)＝－＝－＝－12分【解题程序】第一步：根据f()＝求A的值；第二步：根据f(4α＋)＝－，f(4β－)＝，求、；第三步：求，的值；第四步：根据两角和的余弦公式求(α＋β)．1．你能用表示与吗？【提示】＝＝，＝＝2．若＋＝m，＋＝n，你能用m、n表示(α＋β)吗？【提示】由＋＝m得＋＋2sin＝m，由＋＝n得s2α＋＋＝n，＋(α＋β)＝m＋n，∴(α＋β)＝(m＋n－2)．1．(2012·江西高考若＋＝4，则＝()B.
C. D.
【解析】由＋＝＋＝＝4，得＝，则＝2＝2×＝【答案】2．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，)与b＝(－1，2)垂直，则等于() B.
C．0 D．－1 |
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