第一节随机事件的概率1．概率和频率(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用______________来估计概率P(A)．3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：____________．(2)必然事件的概率P(E)＝____．(3)不可能事件的概率P(F)＝__．(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝___________．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝_________．1．频率与概率有什么区别与联系？【提示】频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？【提示】两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件．【解析】由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2000张也可能不中奖．【答案】D2．(2013·泰安模拟)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．【答案】B3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5【解析】“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.【答案】C4．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．5．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________．(结果用最简分数表示)．判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件，某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是女生．【思路点拨】首先明确任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果进一步判定事件间的关系．【尝试解答】(1)是互斥事件，不是对立事件．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生；但其并事件不是必然事件．所以是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)是互斥事件且是对立事件．“至少有1名男生”，即“选出的两人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件．1．求解的关键是明确“任选2名同学”的各种可能情况，看研究的事件包含哪些试验结果，从而判定事件间的关系．2．(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解．(2)对立事件是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】(1)是互斥事件，不是对立事件．“抽出黑桃”与“抽出红桃”是不可能同时发生，但可以都不发生，所以两事件互斥不对立．(2)是互斥事件，且对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．(2013·唐山质检)如图10－1－1所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【思路点拨】(1)根据频数分布表计算频率，利用频率估计概率；(2)分别根据不同路径估计概率，并比较大小，做出判定．【尝试解答】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5.∴估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，因此，甲应该选择路径L1，同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分别为48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，∴估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙应该选择路径L2.1．(1)解题的关键是正确计算选择不同路径时，事件发生的频率，并用频率估计概率；(2)第(2)问的实质是比较选择不同路径概率的大小．2．概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率．(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图10－4－2所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：【思路点拨】该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率．另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率．【尝试解答】记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”．又B＝A8＋A9＋A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.1．解答本题时，首先应正确判断各事件的关系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．【答案】C1.频率与概率有本质的区别．频率随着实验次数的改变而发生变化，概率是大量随机事件现象的客观规律，是一个常数．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)．(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【规范解答】(1)由题意，∴x＝15，y＝20.易错提示：(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为B＋C的对立事件，导致计算错误．防范措施：(1)准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．【答案】D2．(2012·北京高考)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：0.120.180.280.32概率7环8环9环10环命中环数求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．从近两年高考命题看，随机事件及其概率基本上不单独考查，但概率与统计交汇(如2012·北京)、互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型渗透是命题的热点，题目不超过中等难度，重点考查学生分析问题与数学计算能力，解题的关键是准确理解事件间关系及其概率．思想方法之十八用正难则反思想求互斥事件的概率32.521.51结算时间(分钟/人)10y2530x顾客数(人)17件及以上13至16件9至12件5至8件1至4件一次购物量602020其他垃圾3024030可回收物100100400厨余垃圾“其他垃圾”箱“可回收物”箱“厨余垃圾”箱菜单课后作业自主落实·固基础策略指导·备高考高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）典例探究·提知能网络构建·览全局频率fn(A)______(或______)某事件发生当且仅当____________或___________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)并事件(和事件)A＝B若BA，且_______，那么称事件A与事件B相等相等关系______(或______)如果事件A_______，则事件B__________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)包含关系符号表示定义名称发生一定发生事件A发生事件B发生A∪BA＋B2.事件的关系与运算若A∩B为_______事件，A∪B为__________，那么称事件A与事件B互为对立事件对立事件A∩B＝若A∩B为_______事件，那么称事件A与事件B互斥互斥事件______(或____)某事件发生当且仅当___________且__________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)交事件(积事件)事件A发生事件B发生A∩BAB不可能不可能必然事件0≤P(A)≤10P(A)＋P(B)1－P(B)14161640选择L2的人数121218126选择L1的人数50～6040～5030～4020～3010～20所用时间(分钟)图10—1—2菜单课后作业自主落实·固基础策略指导·备高考高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）典例探究·提知能网络构建·览全局
1．(人教版教总数为10万张的彩票，中奖率是，下列说法中正确的是()买1张一定不中奖．买1000张一定有一张中奖C．买2000张一定中奖．买2000张不一定中奖【解析】这10个数分别为1，－3，9，－27，81，…，(－3)，(－3)，小于8的数有6个，所以P(小于8)＝＝【答案】【解析】∵P(A)＝，P(B)＝，∴P(A∪B)＝P(A)＋(B)＝＋＝＝【答案】【解】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个．所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频＝用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为
掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，若表示BA＋发生的概率为()
【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，()＝1－P(B)＝1－＝，表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：又＝＝1.9.估计顾客一次购物的结算时间为1.9分钟．(2)设B、C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟将频率视为概率，得(B)＝＝，P(C)＝＝，∵B，C互斥，且＝B＋C，()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，因此P(A)＝1－P()＝1－＝一位顾客一次购物结算时间不超过20.7.
【解析】记“从中取出3个小球全是红球”为事件A，则表示“所取的3个球中至少有1个白球”，从3个红球，2个白球的袋中任取3个小球，共有10种不同的试验结果．P(A)＝，从而P()＝1－P(A)＝所取的3个球中至少有1个白球的概率为(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s最大时，写a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s的值．(注：s＝[(x－)＋(x－)＋…＋(x－)]，其中为数据x，x，…，x的平均数)【解】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为＝＝(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.(3)由于a>0，故当a＝600，b＝c＝0时，s取得最大值．因为＝(a＋b＋c)＝200，所以s＝[(600－200)＋(0－200)＋(0－200)]＝80000.
1．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()
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