第二节等差数列2．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝________＝____．(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为___．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．2．三个数成等差数列且知其和时，一般设为a－d，a，a＋d，四个数成等差数列且知其和时，怎样设好呢？【提示】可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.1．(人教A版教材习题改编)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．242．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12 B．14 C．16 D．18【解析】由题意，公差d＝a3－a2＝2，∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.【答案】D3．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24【解析】∵{an}是等差数列，∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.【答案】B4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________．5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．第(2)小题，通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后利用函数的单调性求数列的最大(小)项．2．证明数列{an}为等差数列有两种方法：(1)证明an＋1－an＝d(常数)．(2)证明2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．【思路点拨】(1)由S2＝a3求{an}的公差d，进而代入求a2与Sn；(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根据方程Sk＝－35，求k值．1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．3．等差数列的通项公式形如an＝an＋b(a，b为常数)，前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．(2012·山东高考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.(1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.1．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．【思路点拨】由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式．1.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….1.等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.2．等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．等差数列在每年的高考中均有所涉及，主要考查等差数列的通项公式、前n项和及等差数列的性质，各种题型均有可能出现，一般有一个小题或在解答题中出现，在解题时，应熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题避免不必要的失分．规范解答之八等差数列的通项与求和问题【解题程序】第一步：由条件，构造关于基本量a1，d的方程；第二步：求a1与d，进而求数列{an}的通项公式；第三步：检验a2，a3，a1成等比数列，确定|an|的表达式；第四步：分类讨论，利用等差数列的前n项和公式求和；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点、规范解题步骤．易错提示：(1)不能利用等差数列的性质恰当设置，导致繁杂计算，错求a1与d.(2)缺乏分类讨论的意识，忽视n＝1，2的讨论，误认为Sn为等差数列{3n－7}的前n项和；弄错Sn中的项数，导致计算失误．防范措施：(1)若三个数成等差数列且和为定值，可对称设置为a－d，a，a＋d简化运算．(2)去绝对值符号，分段表示|an|；求数列{|an|}前n(n≥3)项和，只有从第3项起各项才成等差数列，切忌弄错项数．1．(2013·西安质检)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．2．(2012·山东高考)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N，将数列{an}中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.【解】(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N)．(2)对m∈N，若9m
【解析】由S10＝S得10a＋(－2)＝11a＋(－2)解得a＝20.【解析】∵a－1＋a＋1＝2a，－a＝0，则a＝2，a＝0(舍)，又S－1＝＝(2m－1)a＝2(2m－1)＝38.解之得m＝10.【解析】设自上第一节竹子容量为a，则第9节容量为a，且数列{a为等差数列．则解之得a＝，d＝，故a＝a＋4d＝【答案】已知数列{a中，a＝，a＝2－(n≥2，n∈N)，数列{b满足b＝(n∈N)．(1)求证：数列{b是等差数列；(2)求数列{a中的最大项和最小项，并说明理由．
【尝试解答】(1)∵a＝2－(n≥2，n∈N)，＝，＋1－b＝－＝－＝－＝1.又b＝＝－数列{b是以－为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知b＝n－，则a＝1＋＝1＋设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．当n＝3时，a取得最小值－1，当n＝4时，a取得最大值3.
已知数列{a的前n项和为S，且满足a＋2S－1＝0(n≥2)，a＝(1)求证：{是等差数列；(2)求数列{a的通项公式．
【解】(1)证明∵a＝S－S－1(n≥2)，又a＝－2S－1，－1－S＝2Sn－1，S，∴－＝2(n≥2)．又＝＝2，故数列{是以2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，＝当n≥2时，有a＝－2S－1＝－，又∵a＝，不适合上式，＝
(1)(2012·北京高考)已知{a为等差数列，S为其前n项和．若a＝，S＝a，则a＝________，S＝________．(2)已知等差数列{a中，a＝1，a＝－3.求数列{a的通项公式；若数列{a的前k项和S＝－35，求k的值．【尝试解答】(1)由S＝a，得a＋a＝a，＝a－a＝a＝，因此a＝a＋d＝1，S＝＋【答案】1＋(2)①设等差数列{a的公差为d，由a＝1，a＝－3，得＋2d＝－3，∴d＝－2.从而a＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.由①知a＝3－2n，∴S＝＝2n－n，由S＝－35得2k－k＝－35，即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5，又k∈N，故k＝7.
【解】(1)设数列{a的公差为d，前n项和为T，由T＝105，a＝2a，得解得a＝7，d＝7.因此a＝a＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N)．
(2)对m∈N，若a＝7n≤7，则n≤7－1因此b＝7－1所以数列{b是首项为7，公比为49的等比数列，故S＝＝＝＝
【尝试解答】(1)S＝＝＝88.【答案】B(2)由题意知a＋a＋…＋a＝36，①
an＋a－1＋a－2＋…＋a－5＝180，②
①＋②得(a1＋a)＋(a＋a－1)＋…＋(a＋a－5)＝6(a＋a)＝216，＋a＝36，又S＝＝324，＝324，∴n＝18.由a＋a＝36，n＝18.1＋a＝36，从而a＋a＝a＋a＝36.
【尝试解答】法一∵a＝20，S＝S，＋＝15×20＋，＝－∴an＝20＋(n－1)×(－)＝－＋令a得n≤13，即当n≤12时，a＞0；n≥14时，a＜0.当n＝12或13时，S取得最大值，且最大值为＝S＝12×20＋(－)＝130.法二同法一得d＝－又由S＝S，得a＋a＋a＋a＋a＝0.＝0，即a＝0.当n＝12或13时，S有最大值，且最大值为S＝S＝130.
【解】(1)设{a}的公差为d，由已知条件解出a＝3，d＝－2，所以a＝a＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na＋＝－n＋4n＝4－(n－2)，所以n＝2时，S取4.
记数列{|a的前n项和为S当n＝1时，S＝|a＝4；当n＝2时，S＝|a＋|a＝5.9分当n≥3时，S＝S|a3|＋|a＋…＋|a＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝－＋10.当n＝2时，满足此式．综上，S＝12分【解析】由题意知解得＝10a＋45d＝110.于是S＝b＋b＋b＋…＋b＝(9＋9＋…＋9－1)－(1＋9＋…＋9－1)＝－＝
an＋1－a＝d(常数)(n∈N)
an＝a＋(n－1)d
(n－m)d
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求a，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值．②利用等差数列的前n项和S＝An＋Bn(A，B为常数)为二次函【规范解答】(1)设等差数列{a的公差为d，易求a＝－1，则a3＝a＋d，a＝a－d，由题意得2分解之得或所以an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或a＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故a＝－3n＋5，或a＝3n－7.5分(2)当a＝－3n＋5时，a，a，a分别为－1，－4，2，不成等比数列，不合题设条件．当a＝3n－7时，a，a，a分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|a＝|3n－7|＝8分1．A＝是a，A，b成等差数列的什么条件？【提示】充要条件．若A＝＝a＋b－a＝b－A，A，b成等差数列．(1)(2012·合肥四校质检)已知等差数列{a的前n项和为S，S15＝25，则的值是()．－．－(2)(2013·广州质检)已知等差数列{a的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()B．20C．30D．40【解析】1)由题意得S＝＝15a＝25，a8＝，＝＝(π＋)＝＝－(2)设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10. |
|
