第三节等比数列1．等比数列2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝__________＝a.(2)通项公式的推广：an＝am_____________(m，n∈N)(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为________；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？【提示】必要而不充分条件．当a＝0，b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列；当a，b，c成等比数列时，必有b2＝ac.【答案】A3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8【答案】A4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．【答案】4n－15．(2012·江西高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．【答案】11【思路点拨】建立关于a1与公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．【思路点拨】正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．【尝试解答】(1)∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2，又S3＝40，S6＝40＋20＝60，∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.1．本题充分利用已知条件，数列的性质，简化了运算．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式．1.由an＋1＝qan(q≠0)，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.2．运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止忽略q＝1这一特殊情形．等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式及等比数列的性质，各种题型均有可能出现．注重等比数列与相关知识综合交汇，或“非标准”的等比数列是命题新的生长点．创新探究之七等比数列与三角函数的交汇创新创新点拨：(1)等比数列和三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力．(2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，放在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．应对措施：(1)采取先局部，后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数，再从整体上考虑两部分知识之间的联系．(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面考虑．【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）ap·aqqn－mqn【答案】D【答案】(1)D(2)C(4)若数列{a，{b(项数相同)是等比数列，则{λa，{，{a，{a，{(λ≠0)仍是等比数列．
1．(人教版教材习题改编)已知{an是等比数列，a＝2，a＝，则公比q等于()－．－2．
【解析】由题意知：q＝＝，∴q＝2．设S为等比数列{an的前n项和，8a＋a＝0，则＝()－11．－8．【解析】∵S＝21，q＝4，∴＝21，∴a＝1，∴a＝4－1【解析】由题意知a＋a－2a＝0，设公比为q，则a(q2＋q－2)＝0.由q＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S＝＝＝11.(1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a为递增数列，且a＝a，2(a＋a＋2)＝5a＋1，则数列{a的通项公式a＝________．(2)等比数列{a的前n项和为S，已知S，S，S成等差数列．求{a的公比q；②若a－a＝3，求S【尝试解答】(1)设数列{a的首项为a，公比为q，＝a，2(a＋a＋2)＝5a＋1由①得a＝q；由②知q＝2或q＝，又数列{a为递增数列，＝q＝2，从而a＝2【答案】2(2)①∵S1，S，S成等差数列，＋(a＋a)＝2(a＋a＋a)．由于a，故2q＋q＝0，又q≠0，从而q＝－②由已知可得a－a(－)＝3，故a＝4，从而Sn＝＝[1－(－)]．
(2013·泰安调研)已知{a是各项均为正数的等比数列，且a＋a＝2(＋)，a＋a＋a＝64(＋＋)．(1)求{a的通项公式；(2)设b＝(a＋)，求数列{b}的前n项和T【解】(1)设公比为q，则a＝a－1由已知有
化简得又a＞0，故q＝2，a＝1.所以a＝2－1(2)由(1)知b＝(a＋)＝a＋＋2＝4－1＋＋2.因此T＝(1＋4＋…＋4－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n＝(4－4－n)＋2n＋1.
(2013·徐州质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b中的b、b、b(1)求数列{b的通项公式；(2)数列{b的前n项和为S，求证：数列{S＋是等比数列．
【尝试解答】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{b中的b，b，b依次为7－d，10，18＋d.依题意，(7－d)(18＋d)＝100，解之得d＝2或d＝－13(舍去)，＝5，公比q＝2，因此b＝故b＝－1＝5·2－3(1)在正项数列{a中，a＝2，点(，)(n≥2)在直线x－＝0上，则数列{a的前n项和S＝________．(2)数列{a的前n项和为S，若a＋S＝n，c＝a－1，求证：数列{c是等比数列，并求{a的通项公式．
【解析】(1)由题意知－＝0，＝2a－1(n≥2)，数列{a是首项为2，公比为2的等比数列．＝＝＝2＋1－2.(1)(2013·嘉兴模拟)已知等比数列{a中，a＋a＋a＝40，a＋a＋a＝20，则前9项之和等于()B．70C．80D．90(2)等比数列{a的各项均为正数，且2a＋3a＝1，a＝9a求数列{a的通项公式；设b＝＋＋…＋，求数列{的前n项和．
(1)(2012·课标全国卷)已知{a为等比数列，a＋a＝2，a＝－8，则a＋a＝()B．5C．－5D．－7(2)已知等比数列{a满足a＞0，n＝1，2，…，且a－5＝2n≥3)，则＋＋…＋g2a2n－1等于()(2n－1)．(n＋1)(n－1)【解析】(1)由于a＝a＝－8，a＋a＝2，，a是方程x－2x－8＝0的两根，解之得a＝4，a＝－2或a＝－2，a＝4.＝－或q＝－2.当q＝－时，a＋a＝＋a＝4×(－2)＋(－2)×(－)＝－7，当q＝－2时，a＋a＝＋a＝＋4×(－2)＝－7.(2)∵a5·a2n－5＝a＝2，且a＞0，＝2，－1＝2－1，－1＝2n－1，＋＋…＋－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n
已知等差数列{a的首项a＝1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a与{b的通项公式；(2)设数列{c对n∈N均有＋＋…＋＝a＋1成立，求c＋c＋c＋…＋c【尝试解答】(1)由已知a＝1＋d，a＝1＋4d，a＝1＋13d，(1＋4d)＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝2(∵d＞0)．＝1＋(n－1)·2＝2n－1.又b＝a＝3，b＝a＝9，数列{b的公比为3，＝3·3－2＝3－1(2)由＋＋…＋＝a＋1得当n≥2时，＋＋…＋＝a.
两式相减得：n≥2时，＝a＋1－a＝2.＝2b＝2·3－1(n≥2)．又当n＝1时，＝a，∴c＝3.＝＋c＋c＋…＋c＝3＋＝3＋(－3＋3)＝3
(2011·福建高考)已知等比数列{a的公比q＝3，前3项和S＝(1)求数列{a的通项公式；(2)若函数f(x)＝A(2x＋φ)(A＞0，0＜φ＜)在x＝处取得最大值，且最大值为a，求函数f(x)的解析式．【规范解答】(1)由q＝3，S＝，得＝，解得＝所以a×3n－1＝3－2(2)由(1)可知a＝3－2，所以a＝3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；因为当x＝时f(x)取得最大值，所以(2×＋φ)＝1.又0＜φ＜，故φ＝所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(2x＋)．
1．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数(x)，如果对于任意给定的等比数列{a，{f(a)}仍是等比数列，则称(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：(x)＝x；②(x)＝2；③(x)＝；(x)＝则其中是“保等比数列函数”的(x)的序号为()．【解析】设等比数列{a的公比为q，则＝q，中，＝＝q，∴①满足定义，
②中，＝＝2＋1－a＝2(q－1)a不满足定对于③，＝＝满足定义．对于④，取a＝2，则f(a)＝＝n·不是等比数列．综上知，①、③是“保等比数列”函数．
(2)证明由(1)知b＝，公比q＝2，＝＝5·2－2－，则S＋＝5·2－2，因此S＋＝，＝＝2(n≥2)．数列{S＋是以为首项，公比为2的等比数列．
1．本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d)的符号进行2)不能灵活运用数列的性质简化运算．
．证明数列{a是等比数列一般有两种方法：(1)定义法：＝q(q是不为零的常数，n∈N)；(2)等比中项法：a＝a＋2(n∈N)．【答案】2＋1－2(2)证明∵a＋S＝n，∴a1＋S＝1，得a＝，＝a－1＝－又a＋1Sn＋1＝n＋1，a＋S＝n，＋1－a＝1，即2(a＋1－1)＝a－1.又∵a－1＝－，∴＝，即＝，数列{c是以－为首项，以为公比的等比数列．
则c＝－()n－1＝－()，的通项公式a＝c＋1＝1－()【思路点拨】(1)利用S，S－S，S－S成等比数列的性质求解；(2)灵活应用a＝a－1＋1，求a与公比q，进而求出a，b，然后利用裂项相消法求和．【答案】(2)①设数列{a的公比为q.由a＝9a得a＝9a，所以q2＝.
由条件可知q＞0，故q＝由2a1＋3a＝1得2a1＋3a＝1，所以a1＝.
故数列{a的通项公式为a＝＝＋＋…＋＝－(1＋2＋…＋n)＝－故＝－＝－2(－)，＋＋…＋＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－所以数列{的前n项和为－
【思路点拨】(1)可用基本量法求解；(2)作差a＋1－a＝1．本题中第(2)题相当于已知数列{的n项和，求
2．在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式．本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差a＋1－a时，要注意n≥2.证明{a是等比数列的主要方法：(1)定义法：若＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N)，则{a是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a中，a且a＝a＋2(n∈N)，则数列{a是等比数列．
2．如果四个实数成等比数列，能否将其设为，，aq，aq【提示】当公比大于0时，可以设为，，aq，aq，当公比小于0时，不能这样设．【解析】8a＋a＝0，得8a＝－a，又a，∴q＝－2，则S＝11a，S＝－a，∴＝－11.【解析】∵a＝16＝a，且a＞0，∴a＝4，由于a＝a，∴4＝4a，则a＝1.(2012·合肥四校联考)设同时满足≥bn＋1；(n∈N，M是常数)的无穷数列{b叫“嘉文”数列．已知数列{a的前n项和S满足S＝(a－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．(1)求数列{a的通项公式；(2)设b＝＋1，若数列{b为等比数列，求a的值，并证明数列{为“嘉文”数列．【解】(1)因为S＝(a－1)＝a，所以a＝a.当n≥2时，a＝S－S－1＝(a－a－1)，整理得＝a，即数列{a是以a为首项，a为公比的等比数列．所以a＝a·a－1＝a(2)由(1)知，b＝＋1＝，()由数列{b是等比数列，则b＝b，故()＝3·，解得a＝再将a＝代入()式得b＝3，故数列{b为等比数列，所以a＝由于＝＞＝＝，满足条件①；由于＝，故存在M≥满足条件②.故数列{为“嘉文”数列．2．(2012·陕西高考)已知等比数列{an的公比q＝－(1)若a＝，求数列{a的前n项和；(2)证明：对任意k∈N，a，a＋2，a＋1成等差数列．【解】(1)由a＝a＝及q，解得a＝1，＝＝[2＋(－)－1]．(2)证明由(1)知，a＋2＝a，a＋1＝a，＋a＋1＝a(q＋1)＝，＋2＝2q＝a，从而a＋a＋1＝2a＋2，对任意k∈N，a，a＋2，a＋1成等差数列． |
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