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第27计 方程开门 欲擒故纵 ●计名释义 数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容. 方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”. 方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来. ●典例示范 【例1】
求二项式 【分析】 这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数. 【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C 【插语】 在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r) 【续解】 由此得Tr+1=C 欲Tr+1为常数，只须 【插语】 按“函数值”满足的条件，转入方程. 【续解】 解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C 【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”. 【例2】 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值. 【解答】 令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°, 则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°) =sin90°+cos40°=1+cos40° ① x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin50°-cos10°cos50°) =sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°- ①+②得x= 【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一. 【例3】
已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k，且 【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m), 由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上, ∴a2=-4(m-1)(a-m) ① 而MP的斜率为k= 将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1) (-ak), 即4ak2+4(a-1)k-a=0 ② 根据题意,方程②在区间[ 令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为
k= ∴ 【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解. 【例4】 （Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（Ⅱ）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列{cn}不是等比数列. 【解答】 （Ⅰ）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列， ∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0. 将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3. 而当p=2时, 故满足条件的p的值为2或3. （Ⅱ）假设数列{cn}是等比数列，则c22=c1c3，即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)， 故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分别是{an}，{bn}的公比. 化简整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r. 这与题设中两数列公比不相等矛盾，因此数列{cn}不是等比数列. 【点评】 这里选取等比数列的前三项，根据等比中项的意义列方程求出p的值，再验证一般情况.第(Ⅱ)问的反证法中，也是通过构建方程获证. ●对应训练 1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= . 2.已知椭圆 3.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列 ●参考答案 1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解. 解：由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 令x=1得：f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 ① 令x=-1得f (-1)=［2-(-1)］5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 ② 两式相加再除以2得：a1+a3+a5=-121. 2.证明 若AB的中点为M, AB的垂直平分线为l：y=k(x-x0) ① 由于l与x轴相交,因此k≠0，故kAB= 又kOM·（ ∴OM所在直线方程为y= 因此所证的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题. 故由上述方程解得x= 但点M在椭圆 解得- 点评 用方程思想解决某些范围问题特别简单,容易找出问题的突破口. 3.设等差数列{an}的前n项和Sn=an2+bn. 由S7=7，S15=75，得 ∴Sn= ∴数列 故Tn= 点评 因为等差数列（公差不为0）的前n项和公式是关于n的二次函数，因此可将等差数列的前n项和直接设为Sn=an2+bn的形式，往往能达到化繁为简的目的。 简的目的
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