Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是()
A．y＝ln(x－2)B．y＝－x
C．y＝x－x－1D．y＝x－
2
3
解析：函数y＝ln(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，函数y＝－x在(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x－x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x－
2
3在(－∞，0)单调递增，在(0，
＋∞)上单调递减．故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()
A.????－∞，32B.????32，＋∞
C.????－1，32D.????32，4
解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－????x－322＋254的减区间为
????
3
2，4，
∴函数f(x)的单调减区间为????32，4.
答案：D
3．函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠1}，对定义域中任意的x，都有f(2－x)＝f(x)，且当x<1
时，f(x)＝2x2－x，那么当x>1时，f(x)的递增区间是()
A.????54，＋∞B.????1，54
C.????74，＋∞D.????1，74
解析：由f(2－x)＝f(x)，得函数图象关于直线x＝1对称，当x<1时，递减区间是????－∞，14，
由对称性得，选C.
答案：C
4．(2015年长沙模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义
函数fk(x)＝
??
??
?f?x?，f?x?≤k，
k，f?x?>k，取函数f(x)＝2
－|x|.当k＝1
2时，函数fk(x)的单调递增区间为()
Gothedistance
A．(－∞，0)B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)
解析：由f(x)≤12得：2－|x|≤12，即????12－|x|≤12
解得：x≤－1或x≥1，
∴函数fk(x)＝
??
??
?????12x，x≥1
2x，x≤－1
1
2，－1
由此可见，函数fk(x)在(－∞，－1)单调递增．
故答案为：(－∞，－1)．
答案：C
5．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2
－x1)<0恒成立，设a＝f????－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()
A．c>a>bB．c>b>a
C．a>c>bD．b>a>c
解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．
a＝f????－12＝f????52，所以b>a>c.
答案：D
二、填空题
6．已知函数f(x＋2)＝x＋2x，则函数f(x)的值域为________．
解析：令2＋x＝t，则x＝(t－2)2(t≥2)．
∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)．
∴f(x)＝x2－2x(x≥2)．
∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即f(x)的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x|a－x|(x∈R)，且f(2)＝0，则函数f(x)的单调递减区间为________．
解析：由f(2)＝0得a＝2.所以f(x)＝x|2－x|
＝
??
??
??x－1?2－1，x>2
－?x－1?2＋1，x≤2，
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由图象可知单调递减区间为(1,2)．
答案：(1,2)
8．使函数y＝2x＋kx－2与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数k的取值范
围是________．
解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数．故若使函数y＝2x＋kx－2＝
2?x－2?＋4＋k
x－2＝2＋
4＋k
x－2在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k<0，得k<－4.
答案：(－∞，－4)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x＋bx＋c其中b，c为常数且满足f(1)＝5，f(2)＝6.
(1)求b，c的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)上是减函数；
(3)求函数y＝f(x)，x∈????12，3的值域．
解析：(1)f(x)＝2x＋bx＋c
??
??
?f?1?＝5
f?2?＝6????
??2＋b＋c＝5
4＋b2＋c＝6，
∴
??
??
?b＝2
c＝1.
(2)证明：设x1，x2∈(0,1)且x1
∵f(x)＝2x＋2x＋1
∴f(x2)－f(x1)＝????2x2＋2x
2
＋1－????2x1＋2x
1
＋1
＝2(x2－x1)＋2?x1－x2?x
2x1
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＝2(x2－x1)????1－1x
1x2
＝2?x2－x1??x1x2－1?x
1x2
<0
∴f(x2)
∴f(x)在(0,1)上是减函数．
(3)由(2)知函数在(0,1)上是减函数，易知在(1，＋∞)上是增函数
当x∈????12，3时f(x)min＝f(1)＝5
又∵f????12＝6，f(3)＝233，
f(3)>f????12，
∴f(x)max＝233，
∴f(x)的值域是????5，233.
10．已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在????12，2上的值域是????12，2，求a的值．
解析：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝????1a－1x
2
－????1a－1x
1
＝1x
1
－1x
2
＝x2－x1x
1x2
>0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)∵f(x)在????12，2上的值域是????12，2，又f(x)在????12，2上单调递增，
∴f????12＝12，f(2)＝2.∴a＝25.
B组高考题型专练
1．(2015年青岛质量检测)在实数集R中定义一种运算“”，对任意a，b∈R，ab为唯
一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a0＝a；
(2)对任意a，b∈R，ab＝ab＋(a0)＋(b0)．
Gothedistance
关于函数f(x)＝()ex1ex的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶
函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．
其中所有正确说法的个数为()
A．0B．1
C．2D．3
解析：由题意可得f(x)＝()ex1ex＝ex·1ex＋(ex0)＋????1ex0＝1＋ex＋1ex，因为ex>0，所以1
＋ex＋1ex≥1＋2ex·1ex＝3，故①正确；f(－x)＝1＋1ex＋ex＝f(x)，故②正确；f′(x)＝ex－
1
ex≥0得x∈[0，＋∞)，故③错．从而正确说法的个数为2.
答案：C
2．设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m的取
值范围是()
A.????－∞，－12B.????－12，0
C.????－12，12D.????0，12
解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx－12mx＋2m????x－1x<0在
x∈[1，＋∞)上恒成立，即8m
2x2－?1＋4m2?
2mx<0在x∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0，因为8m
2x2
－(1＋4m2)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以x2>1＋4m
2
8m2在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以
1>1＋4m
2
8m2，解得m<－
1
2或m>
1
2(舍去)，故m<－
1
2.
答案：A
3．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范
围是________．
解析：∵f(x)＝e|x－a|＝
??
??
?ex－a?x≥a?，
e－x＋a?x
∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1.
答案：(]－∞，1
4．已知函数f(x)＝
??
??
?e－x－2?x≤0?，
2ax－1?x>0?(a是常数且a>0)，对于下列命题：
Gothedistance
①函数f(x)在R上是单调函数；②函数f(x)的最小值是－1；③若在????12，＋∞上f(x)>0
恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f????x1＋x22
其中正确命题的序号是________．
解析：当x>0时，注意到a>0，函数f(x)是斜率大于0的一次函数，是增函数，而当x≤0
时，函数可化为f(x)＝????1ex－2，是减函数．函数在两段区间上的增减性不同，故①错误；由
①知函数f(x)在(－∞，0]上是单调减函数，在(0，＋∞)上是单调增函数且连续，所以f(x)的
最小值是f(0)＝－1，②正确；当x>0时，注意到函数f(x)是增函数，所以只需要f????12>0即
可，解得a>1，③正确；对于④，当x≤0时，函数f(x)＝e－x－2的图象是把函数y＝ex的图
象关于y轴对称后下移两个单位得到的，由图象可以直接看出是凹函数，因而④正确．
答案：②③④
5．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解析：(1)证明：任设x1
则f(x1)－f(x2)＝x1x
1＋2
－x2x
2＋2
＝2?x1－x2??x
1＋2??x2＋2?
.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1
f(x1)－f(x2)＝x1x
1－a
－x2x
2－a
＝a?x2－x1??x
1－a??x2－a?
.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
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