Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2014年厦门模拟)函数f(x)＝ln(x－2)－2x的零点所在的大致区间是()
A．(1,2)B．(2,3)
C．(3,4)D．(4,5)
解析：由题意知函数f(x)的定义域为{x|x>2}，∴排除A.
∵f(3)＝－23<0，f(4)＝ln2－12>0，
f(5)＝ln3－25>0，
∴f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)>0，
∴函数f(x)的零点在(3,4)之间，故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)与g(x)的图象在R上不间断，由下表知方程f(x)＝g(x)有实数解的区间
是()
x－10123
f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651
g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892
A.(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
解析：由题中表格知f(0)－g(0)<0，f(1)－g(1)>0，所以函数y＝f(x)－g(x)在区间(0,1)内
有零点，即方程f(x)＝g(x)在区间(0,1)内有解．故选B.
答案：B
3．(2014年高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则
函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()
A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}
C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}
解析：当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝
1或x＝3；
当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x，由f(x)＝x
－3得x＝－2－7(正根舍去)．故选D.
答案：D
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4．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()
A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：设g(x)＝11－x，h(x)＝2x，由于函数g(x)＝11－x＝－1x－1在(1，＋∞)上单调递增，
函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以
函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0.故
选B.
答案：B
5．已知f(x)＝|x|ex(x∈R)，若关于x的方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0恰好有4个不相等的实
数根，则实数m的取值范围为()
A.????1e，2∪(2，e)B.????1e，1
C.????1，1e＋1D.????1e，e
解析：依题意，由f2(x)－mf(x)＋m－1＝0得f(x)＝1或f(x)＝m－1.当x<0时，f(x)＝－xex，
f′(x)＝x－1ex<0，此时f(x)是减函数．当x>0时，f(x)＝xex，f′(x)＝－x－1ex，若0
则f′(x)>0，f(x)是增函数；若x>1，则f′(x)<0，f(x)是减函数．因此，要使关于x的方
程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0恰好有4个不相等的实数根，只要求直线y＝1、直线y＝m－1与
函数y＝f(x)的图象共有四个不同的交点．注意到直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有唯一公共
点，因此要求直线y＝m－1与函数y＝f(x)的图象共有三个不同的交点，结合图象可知，0
－1<1e，即1
答案：C
二、填空题
6．已知函数f(x)＝
??
??
?2x?x≤0?，
log2x?x>0?，且函数g(x)＝f(x)＋x－a只有一个零点，则实数a的取
值范围是________．
解析：作出f(x)＝
??
??
?2x?x≤0?
log2x?x>0?，y＝－x＋a的图象，由图象知若g(x)只有一个零点，则
a>1.
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答案：(1，＋∞)
7．设x0是方程10－x＝lgx的解，且x0∈(k，k＋1)(k∈Z)，则k＝________.
解析：令F(x)＝10－x－lgx，则F(9)＝10－9－lg9>0，F(10)＝－1<0，所以得x0∈(9,10)，
k＝9.
答案：9
8．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若
在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
________．
解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在
[－2,3]上的图象如图所示．直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)
＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图象有四个不同的公
共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，
且a＋2a<2，即25
答案：????25，23
三、解答题
9．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有
且只有一个交点？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解析：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9????a－892＋89>0，
∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.
所以a≤－15或a≥1.
检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.
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所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
②当f(3)＝0时，a＝－15，
此时f(x)＝x2－135x－65.
令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，
解得x＝－25或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠－15.
综上所述，a的取值范围是????－∞，－15∪(1，＋∞)．
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解析：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m<－32.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
??
??
?Δ>0，
0<－m－12<2，
f?2?≥0，
∴
??
??
??m－1?2－4>0，
－3
4＋?m－1?×2＋1≥0.
∴
??
??
?m>3或m<－1，－3
m≥－32.
∴－32≤m<－1.
由①②可知m的取值范围(－∞，－1)．
B组高考题型专练
1．(2014年抚顺模拟)已知函数f(x)＝
??
??
?2x－a，x≤0，
2x－1，x>0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两
个零点，则a的取值范围是()
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A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]
C．[－1,0)D．(0,1]
解析：∵当x>0时，f(x)＝2x－1，由f(x)＝0得x＝12.
∴要使f(x)在R上有两个零点，则必须2x－a＝0在(－∞，0]上有解．
又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]．
故所求a的取值范围是(0,1]．
答案：D
2．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值
范围是()
A．(0,1)B．(1，＋∞)
C．(－1,0)D．(－∞，－1)
解析：函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x单调递增，故在[0，＋∞)上函数f(x)
的最小值为f(0)＝1，故函数f(x)在R上的最小值为1.若方程f(x)＝k有两个不同的实根，则
k>1，故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则方程ex－2x＋a＝0，即a＝2x－ex有解．令函数
g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是
增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因为a的取值范
围就是函数g(x)的值域，所以a∈(－∞，2ln2－2]．
答案：(－∞，2ln2－2]
4．(2015年邯郸质检)已知函数f(x)＝
??
??
?kx＋1，x≤0，
log2x，x>0，下列是关于函数y＝f[f(x)]＋1的
零点个数的4个判断：
①当k>0时，有3个零点；
②当k<0时，有2个零点；
③当k>0时，有4个零点；
④当k<0时，有1个零点．
正确的判断是________．
解析：f[f(x)]＋1＝0即f[f(x)]＝－1，当k>0时，函数f(x)的图象如右图所示，y＝－1与
y＝f(x)的交点有两个，设其横坐标分别是t1，t2且t1<0,0
＝t1与y＝t2分别与函数y＝f(x)的交点有两个，故函数f[f(x)]＋1＝0的零点，个数为4个，
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同理k<0，零点有1个，填③④.
答案：③④
5．(2015年临沂模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e
2
x(x>0)．
(1)若g(x)＝m有实数解，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解析：(1)解法一∵g(x)＝x＋e
2
x≥2e
2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是
[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，
则g(x)＝m就有零点．
故当g(x)＝m有实数根时，m的取值范围为[2e，＋∞)．
解法二作出g(x)＝x＋
e2
x(x>0)的大致图象如图．
可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.
故当g(x)＝m有实数根时，m的取值范围为[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)
＝x＋e
2
x(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>
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－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
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