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Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2014年山西四校联考)定积分??2－2|x2－2x|dx＝()
A．5B．6
C．7D．8
解析：??2－2|x2－2x|dx＝??0－2(x2－2x)dx＋??0
2
(－x2＋2x)dx＝????13x3－x2|0－2＋(－13x3＋
x2)|20＝8.
答案：D
2．(2015年南昌一模)若∫π20(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于()
A．－1B．1
C．－2D．2
答案：A
3.如右图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()
A.??0
2
|x2－1|dx
B.||??0
2
?x2－1?dx
C.??0
2
(x2－1)dx
D.??0
1
(x2－1)dx＋??1
2
(1－x2)dx
解析：由定积分的几何意义得阴影部分的面积S＝??0
1
(1－x2)dx＋??1
2
(x2－1)dx＝??0
2
|x2－
1|dx.
答案：A
4．把函数f(x)＝sinx(x∈[0,2π])的图象向左平移π3后，得到g(x)的图象，则f(x)与g(x)
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的图象所围成的图形的面积为()
A．4B．22
C．23D．2
答案：D
5．(2014年高考湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足??1－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区
间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()
A．0B．1
C．2D．3
答案：C
二、填空题
6．已知函数f(x)＝
?
??
sinx????0≤x≤π2，
－2πx＋2????π2
则??0
π
f(x)dx＝________.
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答案：π4＋1
7.如图，阴影部分由曲线y＝x与y轴及直线y＝2围成，则阴影部分的面积S＝________.
解析：x＝2得x＝4故S＝??0
4
(2－x)dx
＝????2x－23x32|40
＝83.
答案：83
8．(2015年辽宁六校联考)由曲线y＝x2(x≥0)，直线y＝x＋2及y轴围成的封闭图形的
面积为________．
解析：由方程x2＝x＋2及x≥0解得x＝2，所求面积S＝??0
2
(x＋2－x2)dx＝????12x2＋2x－13x3
|20＝103.
答案：103
三、解答题
9．求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．
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10.(2014年大庆模拟)如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－14x2及直线y＝－1所围成的图
形的面积．
B组高考题型专练
1．一物体在变力F(x)＝5－x2(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与F(x)成30°
方向做直线运动，则从x＝1处运动到x＝2处时变力F(x)所做的功为()
A.32JB.3J
C.433JD．23J
解析：由积分的意义，结合物理中功的公式可知，F(x)所做的功W＝[]??1
2
?5－x2?dx·cos
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30°＝32????5x－x
3
3|
2
1
＝32×????223－143＝433，故选C.
答案：C
2．若函数f(x)＝
??
??
?f?x－4?，x>0，
2x＋∫π60cos3tdt，x≤0，则f(2016)＝()
A．1B．2
C.43D.53
答案：C
3．(2015年青岛模拟)曲线y＝1x＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面
积是________．
解析：由题意得，所求面积为??1
e
????
1
x＋2x＋2e
2xdx＝??
1
e1
xdx＋??1
e
(2x)dx＋??1
e
(2e2x)dx＝(ln
x)|e1＋x2|e1＋e2x|e1＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.
答案：e2e
4．(2014年洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，x}，
那么由函数y＝f(x)的图象、x轴、直线x＝12和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为
________．
答案：11924
5.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积
S1和S2之和最小，并求最小值．
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解析：S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的
面积，即S1＝t·t2－??0
1
x2dx＝23t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别
为t2,1－t，即S2＝??t
1
x2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.
所以阴影部分面积
S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t????t－12＝0时，得t＝0或t＝12.
当t＝0时，S＝13；t＝12时，S＝14；t＝1时，S＝23.
所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.
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