Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2015年长春调研)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，
则S8S
16
＝()
A.310B.13
C.19D.18
解析：由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，∴a1＝52d，又S8S
16
＝8a1＋28d16a
1＋120d
＝20d＋28d40d＋120d
＝48d160d＝310，故选A.
答案：A
2．已知等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝0，a11－a4＝4，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13
＝()
A．78B．68
C．56D．52
解析：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则
??
??
?a1－d＝0，
7d＝4，解得??
?a1＝47，
d＝47，
∴S13＝13a1＋13?13－1?2d＝13×47＋78×47＝52.
答案：D
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大
自然数n的值为()
A．6B．7
C．12D．13
解析：∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于0，又a3＋a10＝a1＋a12>0，
a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
答案：C
4．(2014年高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()
A．d>0B．d<0
C．a1d>0D．a1d<0
Gothedistance
答案：D
5．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N)．若b3＝－2，b10＝12，
则a8＝()
A．0B．3
C．8D．11
解析：设数列{bn}的首项为b1，公差为d，由b3＝－2，b10＝12，
得
??
??
?b1＋2d＝－2，
b1＋9d＝12，
解得
??
??
?b1＝－6，
d＝2，
∴bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8.
∴bn＝an＋1－an，
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋
b6＋b5＋…＋b1＋a1＝7×?－6＋2×7－8?2＋3＝3.
答案：B
二、填空题
6．(2015年唐山统考)在等差数列{an}中，已知a2＋a9＝5，则3a5＋a7的值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a9＝5，
∴2a1＋9d＝5，∴3a5＋a7＝3a1＋12d＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝10.
答案：10
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13①，S7＝
7?a1＋a1＋6d?
2＝35②.①②联立，解得a1＝2，d＝1，∴a7＝a1＋6d＝8.
答案：8
8．(2014年高考江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅
当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
解析：由a1>0，n＝8时，Sn取最大值，则a8>0，a9<0，
即
??
??
?a8＝a1＋7d＝7＋7d>0，
a9＝a1＋8d＝7＋8d<0，
Gothedistance
解得－1
答案：????－1，－78
三、解答题
9．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a2n＋n－4(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，
即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a2n－1＋n－5，
又2Sn＝a2n＋n－4，
两式相减得2an＝a2n－a2n－1＋1，
即a2n－2an＋1＝a2n－1，
也即(an－1)2＝a2n－1，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.
而a1＝3，所以a2＝－2，
这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为首项为3，
公差为1的等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式
an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.
10．(2014年高考浙江卷)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，
S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解析：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
Gothedistance
由m，k∈N知2m＋k－1>k＋1>1，故
??
??
?2m＋k－1＝13，
k＋1＝5，所以???
??m＝5，
k＝4.
B组高考题型专练
1．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18
＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是()
A．24B．48
C．60D．84
解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60，故选C.
答案：C
2．(2014年高考陕西卷)已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，
则f2014(x)的表达式为________．
解析：由已知易知fn(x)>0，∵fn＋1(x)＝f(fn(x))＝fn?x?1＋f
n?x?
，∴1f
n＋1?x?
＝1＋fn?x?f
n?x?
＝1f
n?x?
＋1?
1
fn＋1?x?－
1
fn?x?＝1，
∴??????1f
n?x?
是以1f
1?x?
＝1＋xx为首项，1为公差的等差数列．
∴1f
n?x?
＝1＋xx＋(n－1)×1＝1＋nxx，
∴fn(x)＝x1＋nx，
∴f2014(x)＝x1＋2014x.
答案：f2014(x)＝x1＋2014x
3．正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N＋，n≥2)，则a7＝________.
解析：因为2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N＋，n≥2)，所以数列{a2n}是以a21＝1为首项，以d＝a22
－a21＝3为公差的等差数列，所以a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝3n－2，n≥1，所以
a7＝3×7－2＝19.
答案：19
4．(2015年济南联考)已知下表：
Gothedistance
47()()()…a1j…
712()()()…a2j…
()()()()()…a3j…
()()()()()…a4j…
……………………
ai1ai2ai3ai4ai5…aij…
……………………
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行、第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式．
解析：(1)由上表可知，第一行的首项为4，公差是3；第二行的首项是7，公差为5.可
以归纳出：第一列是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i＋1；各行的公差构成以3为
首项，2为公差的等差数列，即2i＋1.因为a45是第4行，第5列，首项应为13，公差是9，
所以a45＝13＋(5－1)×9＝49.
(2)由(1)知，第i行的数是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
所以aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j.
|
|
