Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2015年潍坊模拟)函数f(x)＝1ln?－x2＋4x－3?的定义域是()
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1,2)∪(2,3)
解析：由题意知
??
??
?－x2＋4x－3>0，
－x2＋4x－3≠1，
即
??
??
?1
x≠2，
故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．
答案：D
2．不等式x－12x＋1≤0的解集为()
A.????－12，1
B.????－12，1
C.????－∞，－12∪[1，＋∞)
D.????－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：x－12x＋1≤0等价于不等式组
??
??
?x－1≤0，
2x＋1>0，①或???
??x－1≥0，
2x＋1<0.②
解①得－12
答案：A
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是????－12，－13，则不等式x2－bx－a<0的解集是
()
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.????13，12
D.????－∞，13∪????12，＋∞
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解析：依题意，－12与－13是方程ax2－bx－1＝0的两根，则
?
??
b
a＝－
1
2－
1
3，
－1a＝－12×????－13，
即
?
??
b
a＝－
5
6，
1
a＝－
1
6，
又a<0，不等式x2－bx－a<0可化为1ax2－bax－1>0，即－16x2＋56x－1>0，解得2
答案：A
4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C.????－∞，－1311
D.????－∞，－1311∪(1，＋∞)
解析：①m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意．
②m≠－1时，
??
??
?m＋1<0，
Δ<0，解得m<－
13
11.
答案：C
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y＝
f(－x)的图象可以为()
解析：由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，
(1,0)，
∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．
答案：B
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二、填空题
6．已知函数f(x)＝
??
??
?x2＋2ax，x≥2，
2x＋1，x<2，若f(f(1))>3a
2，则a的取值范围是________．
解析：f(1)＝21＋1＝3，∴f(f(1))＝f(3)＝9＋6a.
由f(f(1))>3a2得9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1
答案：(－1,3)
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－
6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；
当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故
m＝2.
答案：2
8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为
________．
解析：由题意，要使8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2α－32αcos
2α≤0，化简得cos2α≥12.
又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，
解得0≤α≤π6或5π5≤α≤π.
答案：????0，π6∪????5π6，π
三、解答题
9．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解析：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方
程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，得
??
?1＋b＝3a，
1×b＝2a.
解得
??
??
?a＝1，
b＝2.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
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即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2
当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
所以，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2
当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
10．(2015年长沙质检)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒
成立，求a的取值范围．
解析：解法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，
只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围是[－3,1]．
解法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
??
??
?Δ>0，
a<－1，
g?－1?≥0.
解得－3≤a≤1.
所求a的取值范围是[－3,1]．
B组高考题型专练
1．(2014年高考大纲全国卷)不等式组
??
??
?x?x＋2?>0，
|x|<1的解集为()
A．{x|－2
C．{x|01}
解析：
??
??
?x?x＋2?＞0，①
|x|＜1，②
由①得，x<－2或x>0，
由②得，－1
因此原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
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答案：C
2．(2014年高考辽宁卷)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a
的取值范围是()
A．[－5，－3]B.????－6，－98
C．[－6，－2]D．[－4，－3]
解析：∵当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，即当x∈[－2,1]时，不等
式ax3≥x2－4x－3()恒成立．
①当x＝0时，a∈R.
②当0
2－4x－3
x3＝
1
x－
4
x2－
3
x3恒成立．
设f(x)＝1x－4x2－3x3，则f′(x)＝－1x2＋8x3＋9x4＝－x
2＋8x＋9
x4＝
－?x－9??x＋1?
x4.
当00，
∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0,1]上单调递增．
当0
③当－2≤x<0时，由()得a≤1x－4x2－3x3.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝9(舍)．
∴当－2≤x<－1时，f′(x)<0，当－10，∴f(x)在[－2，－1)上递减，
在(－1,0)上递增．
∴x∈[－2,0)时，f′(x)min＝f(－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a≤f(x)min＝－2.
综上所述，当x∈[－2,1]时，实数a的取值范围为－6≤a≤－2.故选C.
答案：C
3．下列选项中，使不等式x<1x
A．(－∞，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1，＋∞)
解析：由x<1x
??
?x<1x，
1
x
2，
即
?
?
?x2－1x<0，
1－x3
x<0，
解得
??
??
?x<－1或0
x<0或x>1，综合知x<－
1.
答案：A
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