Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有一个截面使该正方体的所有棱与它所成的角均为θ，
则sinθ＝()
A.12B.22
C.33D.64
解析：由题意知，截面A1BD满足题意，过点A作截面A1BD的垂线，垂足为H，则sin
θ＝AHAD＝33，故选C.
答案：C
2.(2014年大连模拟)如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则
下列直线中与B1O垂直的是()
A．A1D
B．AA1
C．A1D1
D．A1C1
解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1?面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选
D.
答案：D
3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()
A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a?α，b⊥β，α∥βD．a?α，b∥β，α⊥β
解析：∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α.又∵a?α，∴b⊥a.故选C.
答案：C
4．(2014年玉溪检测)设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且m?α，
n?β，有命题p：若m∥n，则α∥β，q：若m⊥β，则α⊥β，那么()
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A．“p或q”是假命题
B．“p且q”是真命题
C．“非p或q”是假命题
D．“非p且q”是真命题
解析：由题可知，p为假命题，q为真命题，所以D正确，故选D.
答案：D
5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m?β，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影
互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.
其中正确命题的个数为()
A．0B．1
C．2D．3
解析：①错，当两个平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行；②正确，不
妨过直线m作一个平面与α，β同时相交，交线分别为a，b，由α∥β知a∥b，又m∥α，
∴m∥a，∴m∥b，又m?β，∴m∥β.③错，不妨设该直线为正方体的两条体对角线，其在底
面的射影为正方形的两条对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两条体对角线不垂直；④
错，m，n也可以不垂直，故选B.
答案：B
二、填空题
6．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，
就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：
①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；
④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是________(把你认为正确的条件序号都填上)．
解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，
所以BD⊥EF，故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条
件．
答案：①③
7．(2014年临川联考)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面
A1BC的距离为________．
解析：由题意知，点A到平面A1BC的距离即为三棱锥AA1BC的顶点A到底面的距离，
设为h，由VAA1BC＝VA1ABC，得h＝32.
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答案：32
8.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，
E，F分别是AD，PC的中点，则平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为________．
解析：由题易证，BE⊥平面PAC，∴BE⊥PC，又BP＝BC，F为PC的中点，∴BF⊥
PC，∴PC⊥平面BEF.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又底面为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥
平面BAP.∴直线PC与BC的夹角为平面BEF与平面BAP的夹角．在△PBC中，∠PBC＝
90°，BC＝PB＝22，
∴∠PCB＝45°，即所求二面角为45°.
答案：45°
三、解答题
9.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，
DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求证：BC⊥平面PAC；
(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
解析：(1)证明：∵AB∥CD，CD?平面PDC，AB?平面PDC，
∴AB∥平面PDC.
(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形．
∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，
在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，
在Rt△ACE中，AC＝AE2＋CE2＝2，
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∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
(3)∵M是PC的中点，
∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．
∴VMACD＝13S△ACD×????12PA＝13×????12×1×1×12＝112.
10．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三
角形，已知AD＝4，BD＝43，AB＝2CD＝8.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
(2)当点M位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD；
(3)求四棱锥PABCD的体积．
解析：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝43，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2.
∴AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD.
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)当点M位于线段PC靠近点C的三等分点处时，PA∥平面MBD.
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN.
∵AB∥DC，AB＝2CD，∴四边形ABCD是梯形，
CN∶NA＝1∶2.
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又∵CM∶MP＝1∶2，
∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN，
∵MN?平面MBD，PA?平面MBD，∴PA∥平面MBD.
(3)过点P作PO⊥AD于O，
则PO⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
则PO为四棱锥P-ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝4×32＝23.
在Rt△ADB中，斜边AB上的高为4×438＝23，此即为梯形ABCD的高．
∴S梯形ABCD＝4＋82×23＝123.
∴VP-ABCD＝13×123×23＝24.
B组高考题型专练
1．(2014年高考辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是
()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n?α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：A中，m，n可平行，可相交，也可异面；C中，可有n?α；D中，n与α位置
不确定，B正确．
答案：B
2．(2014年高考浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则()
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
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D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：A、B、D中还可能出现m?α或m∥α.
答案：C
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B
项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n
⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，
故错误．故选C.
答案：C
4．(2014年高考辽宁卷)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝
2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥DBCG的体积．
解析：(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC.因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．
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在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝3，所以VD-BCG＝VG-BCD＝13×S△DBC×h＝13×12BD×BC×
sin120°×32＝12.
5．(2014年高考福建卷)如图，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．
解析：解法一(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，
得AB⊥BD.
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝12.
∵M是AD的中点，
∴S△ABM＝12S△ABD＝14.
由(1)知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥CABM的高h＝CD＝1，
因此三棱锥AMBC的体积VAMBC＝VCABM＝13S△ABM·h＝112.
解法二(1)同解法一．
(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，
如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，
则MN⊥平面BCD，且MN＝12AB＝12，
又CD⊥BD，BD＝CD＝1，
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∴S△BCD＝12.
∴三棱锥AMBC的体积VAMBC＝VABCD－VMBCD
＝13AB·S△BCD－13MN·S△BCD＝112.
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