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A组考点基础演练
一、选择题
1．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有
()
A．12种B．24种
C．36种D．48种
解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有C24种分法，再将这三组分配到三所学校
有A33种分法，由分步乘法计数原理，知一共有C24·A33＝36种不同分配方案．
答案：C
2．(2015年济南调研)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取
一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()
A．33B．34
C．35D．36
解析：(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数
为C13A33.
(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.
(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个．∴由分
类加法计数原理，共确定不同的点有C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)．
答案：A
3．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同
排法的种数是()
A．180B．240
C．360D．480
解析：利用“除序法”求解．不同的排法种数有2(A55＋A24A33＋A23A33＋A22A33)＝480，故
选D.
答案：D
4．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共
有()
A．150种B．180种
C．200种D．280种
解析：依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成
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1,2,2与1,1,3两种，当人数是1,2,2时有C
1
5C
2
4C
2
2
A22×A
3
3＝90(种)．
当人数是1,1,3时，则有C
1
5C
1
4C
3
3
A22×A
3
3＝60(种)，
因此共有90＋60＝150(种)．
答案：A
5．(2014年高考安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角
为60°的共有()
A．24对B．30对
C．48对D．60对
解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，
它们的棱是原正方体的12条面对角线．
一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方
体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48对．故选C.
答案：C
二、填空题
6．5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是________(用数字作
答)．
解析：依题意，满足题意的不同的排法种数是C14·A44＝96.
答案：96
7．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，
则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)
解析：依题意，满足题意的选派方法种数是C512－(C57＋C58＋C59－1)＝590.
答案：590
8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法
共有________种(用数字作答)
解析：如图六个位置123456.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有
A55种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下
的3个位置排D，E，F，共A24·A33种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，
B，其余位置排D，E，F，则共有A22·A33种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，
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再在其余3个位置排D，E，F，共有A23·A33种排法；若C在第4个位置，则有A22A33＋A23A33种
排法；若C在第5个位置，则有A24A33种排法；若C在第6个位置，则有A55种排法．
综上，共有2(A55＋A24A33＋A23A33＋A22A33)＝480(种)排法．
答案：480
三、解答题
9．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
解析：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个
奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以
符合题意的七位数有C34C45A77＝100800个．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14400个．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5760个．
10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解析：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化
为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1
的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘
法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144种．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，
也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放
球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序
不均匀分组有C34C11A22种方法，第二类有序均匀分组有C
2
4C
2
2
A22·A
2
2种方法．
故共有C24????C34C11A22＋C
2
4C
2
2
A22·A
2
2＝84种．
B组高考题型专练
1．某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，
并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有
()
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A．474种B．77种
C．462种D．79种
解析：首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A39＝504种排法，其中上
午连排3节的有3A33＝18种，下午连排3节的有2A33＝12种，则这位教师一天的课程表的
所有排法有504－18－12＝474种，故选A.
答案：A
2．(2014年高考广东卷)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，
那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()
A．60B．90
C．120D．130
解析：设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为－1或1，
其他为0，所以有2·C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1，x2，x3，x4，x5中有两个为－1
或1，其他为0，所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1，x2，x3，x4，x5中有
三个为－1或1，其他为0，所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3，从而，共有10＋40
＋80＝130个元素满足1≤t≤3.故选D.
答案：D
3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各
人输赢局次的不同视为不同情形)共有()
A．10种B．15种
C．20种D．30种
解析：采用分类讨论法求解．
由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场．
当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．
当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C23＝3(种)情况；同
理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．
当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C24＝12(种)情况．
由上综合知，共有20种情况．
答案：C
4．某校从6名教师中选派3名教师同时去3个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙
不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．
解析：利用计数原理求解．对甲分类，第一类，甲去，则乙不去，丙去，此时不同的选
派方案有C13A33＝18种；第二类，甲不去，则丙不去，此时不同的选派方案有C34A33＝24种．故
共有不同的选派方案18＋24＝42种．
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答案：42
5．(2015年济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，
向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相
邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．
解析：本题考查排列组合，难度中等．优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求
解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，
所以共有5A
5
5
A22＝300种不同的编排方法．
答案：300
6．(2014年高考北京卷)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A
与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：产品A，B相邻时，不同的摆法有A22A44＝48种．而A，B相邻，A，C也相邻时
的摆法为A在中间，C，B在A的两侧，不同的摆法共有A22A33＝12(种)．
故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48－12＝36(种)．
答案：36
7．(2014年高考浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这
8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
解析：不同的获奖情况分为两种：一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有C23A24＝
36种；二是有三人各获得一张奖券，共有A34＝24种．
因此不同的获奖情况有36＋24＝60种．
答案：60
8．用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5
中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__________(注：用数字作答)．
解析：分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1,3,5中的一个数字，
所以满足条件的五位数有C13A22A22＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、
第2位为1,3,5中的两个数字或第4位、第5位为1,3,5中的两个数字，所以满足条件的五位
数有2A23A22＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1,3,5中的一个数字，
所以满足条件的五位数有C13A22A22＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．
答案：48
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