Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．下列是古典概型的是()
①种下一粒种子观察它是否发芽；
②从规格直径为250±0.6mm的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径d；
③抛一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面；
④某人射击中靶或不中靶．
A．①③B．③
C．③④D．②④
解析：根据古典概型的定义及特点，①②④中每个基本事件出现的可能性不相等，故
不是古典概型；③是古典概型．
答案：B
2．(2014年高考江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()
A.118B.19
C.16D.112
解析：掷两颗均匀的骰子，得到的点数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，
(6,6)，共36种结果，点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种情况，所以所求
事件的概率P＝436＝19.故选B.
答案：B
3．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相
同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码
为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为()
A.18B.316
C.14D.12
解析：由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，
(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14.
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答案：C
4．(2014年高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2
个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A.15B.25
C.35D.45
解析：根据题意知，2个点的距离小于该正方形边长的情况有4种，故所求概率P＝1
－4C2
5
＝35，故选C.
答案：C
5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编
号互不相同的概率为()
A.521B.27
C.13D.821
解析：从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C410＝210种
不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的．设事件A为“取
出球的编号互不相同”，则事件A包含了C15·C12·C12·C12·C12＝80个基本事件，所以P(A)＝80210
＝821.故选D.
答案：D
二、填空题
6．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同
学的概率等于________．
解析：设3名男同学分别为a1、a2、a3,3名女同学分别为b1、b2、b3，则从6名同学中
任选2名的结果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，
b1b2，b1b3，b2b3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P＝315＝15.
答案：15
7．(2014年高考江苏卷)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘
积为6的概率是________．
解析：从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，
(3,6)，共6种情况．
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满足条件的有(2,3)，(1,6)，共2种情况．
故P＝26＝13.
答案：13
8．(2014年高考广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位
数是6的概率为________．
解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数有C710种选法．要使抽取的七个数的中
位数是6，则6,7,8,9必须取，再从0,1,2,3,4,5中任取3个，有C36种选法，故概率为C
3
6
C710＝
1
6.
答案：16
三、解答题
9．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．
解析：(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n＝C13×C13＝9种选法．
记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数m＝C12·1＋C12·1＝4，∴
P(A)＝mn＝49.
(2)从报名的6人中任选2名，有n＝C26＝15种选法．
记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝2C23＝
6.
∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝615＝25.
10．(2015年九江一模)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每
次取一个，记事件A＝“恰有一个红球”，事件B＝“第3个是红球”．求
(1)不放回时，事件A，B的概率；
(2)每次取后放回时，A，B的概率．
解析：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一
个，第三次从4个球中取一个，基本事件共有6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件
3×2×4×3＝72个(第1个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红
球和第3个是红球和第1个是红球的取法一样多)，
∴P(A)＝72120＝35.
第3次抽取红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总数的13，在每一次取到都是随
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机的等可能事件，
∴P(B)＝13.
(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中任取一个，有取法63＝216种，事件A包含基
本事件3×2×4×4＝96种．
∴P(A)＝96216＝49.
第三次取到红球包括B1＝{红，黄，红}，B2＝{黄，黄，红}，B3＝{黄，红，红}，B4
＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P(B1)＝2×4×2216＝227，P(B2)＝4×4×2216＝427，P(B3)＝
4×2×2
216＝
2
27，P(B4)＝
2×2×2
216＝
1
27，
∴P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＋P(B4)
＝227＋427＋227＋127＝13.
B组高考题型专练
1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上
的面的点数分别为x，y，则满足log2xy＝1的概率为()
A.16B.536
C.112D.12
解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足题意的有x
＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为336＝112，故选C.
答案：C
2．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率
是()
A.512B.712
C.13D.12
解析：∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，
∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝1536＝512，故选A.
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答案：A
3．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的
概率为()
A.518B.14
C.310D.910
解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分为a，b，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x2－ax＋
2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，
(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为936＝14.
答案：B
4．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为
坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()
A.12B.13
C.14D.18
解析：易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无须考虑)，集合N
中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典
概型知概率为416＝14.
答案：C
5.如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取3个数，则至少
有2个数位于同行或同列的概率是()
A.37B.47
C.1314D.114
解析：从9个数中任取3个数共有C39＝84种情况，所取的3个数不在同一行也不在同
一列有6种情况，因而所求的概率为P＝1－684＝1314.故选C.
答案：C
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6．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相
交的概率为________．
解析：圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝|2a|a2＋b2，当d<2时，直线与圆相交，则
有d＝|2a|a2＋b2<2，得b>a，满足题意的b>a共有15种情况，因此直线ax－by＝0与圆(x
－2)2＋y2＝2相交的概率为1536＝512.
答案：512
7．(2014年高考江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取
到1件次品的概率是________．
解析：从10件产品中任取4件有C410种取法，取出的4件产品中恰有1件次品有C37C13种
取法，则所求的概率P＝C
3
7C
1
3
C410＝
1
2.
答案：12
8．(2015年烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了
他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4.
(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；
(2)估计成绩在85分以上学生的比例；
(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩
[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，
乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
样本频率分布表
分组频数频率
[40,50)20.04
[50,60)30.06
[60,70)140.28
[70,80)150.30
[80,90)
[90,100)40.08
合计
解析：(1)样本的频率分布表：
Gothedistance
分组频数频率
[40,50)20.04
[50,60)30.06
[60,70)140.28
[70,80)150.30
[80,90)120.24
[90,100)40.08
合计501
(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，
所以估计成绩在85分以上的学生比例为1050＝15.
(3)[40,50)内有2人，记为甲、A.[90,100)内有4人，记为乙，B、C、D.则“二帮一”小
组有以下12种分组办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)，(甲，B，C)，(甲，B，
D)，(甲，C，D)，(A，乙，B)，(A，乙，C)，(A，乙，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，
D)．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，
D)．
所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P＝312＝14.
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