Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中
遇红灯的次数的期望为()
A．0.4B．1.2
C．0.43D．0.6
解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
答案：B
2．(2015年衡水模拟)若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()
A．3·2－2B．3·2－10
C．2－4D．2－8
解析：E(ξ)＝np＝6，D(ξ)＝np(1－p)＝3?p＝12，n＝12，P(ξ＝1)＝C112????1212＝3210.
答案：B
3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为
c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大
值为()
A.148B.124
C.112D.16
解析：设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为
X320
Pabc
E(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，
当且仅当3a＝2b即a＝13，b＝12时，等号成立．
答案：D
4．(2013年高考湖北卷)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大
小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值
E(X)＝()
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A.126125B.65
C.168125D.75
解析：设涂0个面的小正方体有x个，涂1个面的小正方体有y个，涂2个面的小正方
体有z个，涂3个面的小正方体有w个，则有0·x＋1·y＋2·z＋3·w＝25×6＝150，所以E(X)
＝0·x125＋1·y125＋2·z125＋3·w125＝150125＝65.
答案：B
5．(2014年高考浙江卷)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝
球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
①放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
②放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则()
A．p1＞p2，E(ξ1)＜E(ξ2)
B．p1＜p2，E(ξ1)＞E(ξ2)
C．p1＞p2，E(ξ1)＞E(ξ2)
D．p1＜p2，E(ξ1)＜E(ξ2)
解析：列出随机变量ξ1，ξ2的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算
p1，p2并比较大小．
随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：
ξ112
Pnm＋nmm＋n
ξ2123
PC
2
n
C2m＋n
C1mC1n
C2m＋n
C2m
C2m＋n
所以E(ξ1)＝nm＋n＋2mm＋n＝2m＋nm＋n，
E(ξ2)＝C
2
n
C2m＋n＋
2C1mC1n
C2m＋n＋
3C2m
C2m＋n＝
3m＋n
m＋n，
所以E(ξ1)
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因为p1＝mm＋n＋nm＋n·12＝2m＋n2?m＋n?，
p2＝C
2
m
C2m＋n＋
C1mC1n
C2m＋n·
2
3＋
C2n
C2m＋n·
1
3＝
3m＋n
3?m＋n?，
p1－p2＝n6?m＋n?>0，所以p1>p2.
答案：A
二、填空题
6．(2014年高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝
________.
解析：设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×15＋1×p＋2????1－p－15＝1，解得p＝35.
故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.
答案：25
7．设随机变量ξ的概率分布列如下表所示：
x012
P(ξ＝x)abc
其中a，b，c成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为________．
解析：由题意有a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，b＋2c＝43，解得a＝16，b＝13，c＝12，则其方差
为D(ξ)＝????0－432×16＋????1－432×13＋????2－432×12＝59.
答案：59
8．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒
扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率为34，则该学生
在面试时得分的期望为________．
解析：由题得，该学生有可能答对0,1,2,3道，所以得分可能为－15,0,15,30.根据独立试
验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为－15,0,15,30对应的概率分别为C33????1－343·????34
0，C2
3????1－
3
4
2????3
4
1，C1
3????1－
3
4
1·????3
4
2，C0
3????1－
3
4
0????3
4
3，即为1
64，
9
64，
27
64，
27
64.
所以期望＝(－15)×164＋0×964＋15×2764＋30×2764＝754，故填754.
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答案：754
三、解答题
9．(2014年高考安徽卷)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，
若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙
获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk
表示“第k局乙获胜”，
则P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
＝????232＋13×????232＋23×13×????232＝5681.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝1081，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.
故X的分布列为
X2345
P59291081881
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.
10．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取
出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
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(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，
记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若
E(Y)＝53，D(Y)＝59，求a∶b∶c.
解析：(1)由题意得X＝2,3,4,5,6.
故P(X＝2)＝3×36×6＝14，
P(X＝3)＝2×3×26×6＝13，
P(X＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，
P(X＝5)＝2×2×16×6＝19，
P(X＝6)＝1×16×6＝136.
所以X的分布列为
X23456
P141351819136
(2)由题意知Y的分布列为
Y123
Paa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c
所以E(Y)＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，
D(Y)＝????1－532·aa＋b＋c＋????2－532·ba＋b＋c＋????3－532·ca＋b＋c＝59.
化简得
??
??
?2a－b－4c＝0，
a＋4b－11c＝0.解得???
??a＝3c，
b＝2c.
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
B组高考题型专练
1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1
D(X)＝29，则x1＋x2的值为()
A.53B.73
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C．3D.113
解析：分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：
?
??
x1·23＋x2·13＝43，
????x1－
4
3
2·2
3＋?
???x2－432·1
3＝
2
9，
解得
?
??
x1＝53
x2＝23
或
??
??
?x1＝1，
x2＝2，又∵x1
??x1＝1，
x2＝2，
∴x1＋x2＝3.故选C.
答案：C
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，
－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为()
A.89B.35
C.25D.13
解析：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－b2a<0，即ba>0，也就是a，b必须同号，
∴ξ的分布列为
ξ012
P134929
∴E(ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.
答案：A
3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为
c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为()
A.323B.283
C.143D.163
解析：由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0
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又2a＋13b＝3a＋2b2????2a＋13b
＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，又
3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163，故选D.
答案：D
4．某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，
5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是
黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变
量ξ的数学期望值E(ξ)＝________.
解析：ξ的分布列为
ξ1234
P581556556156
E(ξ)＝1×58＋2×1556＋3×556＋4×156＝32.
答案：32
5．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批
产品中任取4件做检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任
取4件做检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1
件做检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产
品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作
质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产
品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件
产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1
与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12
＝364.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且
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P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.
所以X的分布列为
X400500800
P111611614
E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.
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