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| 高考数学课时训练选修4-1-1 |
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Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD为()
A．3B．4
C．5D．6
解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝CACD，∴CD＝AC
2
BC
＝8
2
16＝4.故选B.
答案：B
2．如图，在?ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD
等于()
A．2∶5B．3∶5
C．2∶3D．5∶7
解析：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，
∴BE∶AD＝2∶5.
∵AD∥BC，
∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.
答案：A
3.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EFBC＋FGAD＝()
A．1B．2
C．3D．4
解析：∵EF∥BC，∴EFBC＝AFAC，
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又∵FG∥AD，∴FGAD＝CFAC，
∴EFBC＋FGAD＝AFAC＋CFAC＝ACAC＝1.
答案：A
4.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则CE＝()
A.92B．27
C．37D．36
解析：如图，作CH⊥AE于H，则BD∥CH，
∴ABAC＝ADAH，∴44＋2＝3AH，
∴AH＝92，
∴在Rt△AHC中，
CH＝62－????922＝372，
又Rt△CHE∽Rt△AHC，
∴CECH＝ACAH，
∴CE＝ACAH·CH＝69
2
×372＝27.
答案：B
5．(2014年高考天津卷)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，
交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结
论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确
结论的序号是()
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A．①②B．③④
C．①②③D．①②④
解析：①∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，故∠FBD＝∠CBD，即①正确．由切割线
定理知②正确．③△BED∽△AEC，故BEDE＝AECE，当DE≠CE时，③不成立．④△ABF∽△
BDF，故ABAF＝BDBF，即AB·BF＝AF·BD，④正确．故①②④正确，选D.
答案：D
二、填空题
6.如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.
解析：∵AB∥EF∥CD，
∴EFAB＝CFBC，①
EF
CD＝
BF
BC，②
①
②得：
CF
BF＝
CD
AB＝
12
4＝3，
∴EFCD＝BFBC＝14，∴EF＝14CD＝3.
答案：3
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE
＝________.
解析：设DE＝x，∵DE∥AC，
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∴BE15＝xx＋4，得BE＝15xx＋4.
∴BDDC＝BEEA＝BE15－BE＝x4.
又∵AD平分∠BAC，
∴BDDC＝BAAC＝15x＋4＝x4，
解得x＝6.
答案：6
8．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方
形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长
为________cm.
解析：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在
AB，AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xcm.
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴AEAD＝PNBC，∴8－x8＝x12.
解得x＝4.8.
即加工成的正方形零件的边长为4.8cm.
答案：4.8
三、解答题
9.如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED
并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．
解析：∵AH∥BE，∴HFHE＝AFAB.
∵AB＝4AF，∴HFHE＝14.
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∵HE＝8，∴HF＝2.
∵AH∥BE，∴HDDE＝ADDC.
∵D是AC的中点，∴HDDE＝1.
∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，
∴DF＝HD－HF＝4－2＝2.
10.(2015年绵阳一模)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝13AC，BD＝13AB，
点F在BC上，且CF＝13BC.求证：
(1)EF⊥BC；
(2)∠ADE＝∠EBC.
证明：设AB＝AC＝3a，
则AE＝BD＝a，CF＝2a.
(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23.
又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，
由∠BAC＝90°.∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.
(2)由(1)得EF＝2a，
故AEEF＝a2a＝22，ADFB＝2a22a＝22，
∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，
∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.
B组高考题型专练
1.(2014年西安模拟)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于
点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．
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解析：∵M，N分别是AB，BC中点，故MN綊12AC，
∴△MON∽△COA，∴S△MONS
△AOC
＝????MNAC2＝14.
答案：1∶4
2．(2014年佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，
CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析：连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝a2，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，
∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别
是AD，AB的中点，∴EF＝12DB＝12a.
答案：a2
3．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，
则AD＝________.
解析：如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，
∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
答案：9
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
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解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝3，
所以AE＝32，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－
2AE·AD·cos∠EAD＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED＝212.
答案：212
5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延
长线于点D.
(1)求证：PCAC＝PDBD；
(2)若AC＝3，求AP·AD的值．
解析：(1)因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC，
所以△DPC∽△DBA，所以PCAB＝PDBD.
又AB＝AC，所以PCAC＝PDBD.
(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD
＝∠APC.
又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以APAC＝ACAD.
所以AP·AD＝AC2＝9.
6.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，
求S△BEFS
四边形DEFC
的值．
解析：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，
所以BFBM＝BEBD＝13，
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因为EF∥DM，
所以S△BEFS
△BDM
＝19，
即S△BDM＝9S△BEF，
又S△DMCS
△BDM
＝23，
即S△DMC＝23S△BDM＝6S△BEF，
所以S四边形DEFC＝14S△BEF，
因此S△BEFS
四边形DEFC
＝114.
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