Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点F，AB＝10，AF＝2.若CF∶DF＝1∶4，则
CF的长等于()
A.2B．2
C．3D．22
解析：∵CF∶DF＝1∶4，
∴DF＝4CF，
∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8，
∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF＝2.
答案：B
2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
解析：在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，
又根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，
所以CE·CB＝AD·DB.
答案：A
3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB
为半径的圆与AC相切，则sinA等于()
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A.33B.13
C.12D.55
解析：如图，设AC与圆相切于E点，连接DE，
则DE⊥AC，DE＝DB，
则AD＝2ED，
∴在Rt△ADE中，sinA＝12.
故选C.
答案：C
4.如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的切线交BC的延长线于点P，D为AB的中
点，DP交AC于点M，若BP＝8，AM＝4，AC＝6，则PA＝()
A．42B．32
C.2D．52
解析：由题意MC＝AC－AM＝6－4＝2.又D为AB的中点，∴AD＝BD.过点C作CN∥
AB交PD于N，
∴AMMC＝ADCN＝BDCN＝BPCP，
∴8PC＝42，
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∴PC＝4.∵PA2＝PC·PB＝32，
∴PA＝42.
答案：A
5.(2014年天津一中月考)如图过⊙O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且
PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝()
A．6B．5
C.35D．4
解析：因为PA是圆的切线，所以∠BAP＝∠ACB，
又∠BAC＝∠APB，所以△BAP与△BCA相似，所以ABCB＝PBAB，所以AB2＝PB·BC＝7×5
＝35，所以AB＝35.
答案：C
二、填空题
6．(2014年高考陕西卷)(几何证明选做题)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半
圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
解析：∵四边形BCFE内接于圆，
∴∠AEF＝∠ACB，
又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACB，
∴EFBC＝AEAC，
又∵BC＝6，AC＝2AE.∴EF＝3.
答案：3
7.(2014年高考湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC
＝22，则⊙O的半径等于________．
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解析：设AO与BC交于点M，∵AO⊥BC，BC＝22，∴BM＝2，又AB＝3，∴AM
＝1.设圆的半径为r，则r2＝(2)2＋(r－1)2，解得r＝32.
答案：32
8．(2014年高考湖北卷)(选修4－1：几何证明选讲)如图，P为⊙O外一点，过P点作
⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，
CD＝3，则PB＝________.
解析：由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q为PA的中点，
∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.
答案：4
三、解答题
9．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)(选修4－1：几何证明选讲)如图，P是⊙O外一点，
PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD
的延长线交⊙O于点E.
证明：(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
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所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因为BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB，
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
10.如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于
点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
解析：(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，
∴BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC边的中垂线，所以BG＝32.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为32.
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B组高考题型专练
1.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.
过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，则线
段CD的长为________．
解析：因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以34＝2BD，即BD＝83.设CD＝x，AD＝4x，
所以4x2＝649，所以x＝43.
答案：43
2.如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，
AC＝n，则AB＝________.
解析：∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，
∴△ABD∽△ACB.∴ABAC＝ADAB，
∴AB2＝AD·AC＝mn，
∴AB＝mn.
答案：mn
3.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC
＝2，BD＝4，则AB的长为________．
解析：∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，
∴△ACB∽△DAB.
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∴BCAB＝ABBD，
∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.
∴AB＝8＝22(舍去负值)．
答案：22
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切
线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，
∴AC＝10，BC＝103.
∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.
∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝53.
由切割线定理得DC2＝DE·DB，
即(53)2＝15DE，
∴DE＝5.
答案：5
5.(2014年高考辽宁卷)(选修4－1：几何证明选讲)如图，EP交圆于E，C两点，PD切
圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足
为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
解析：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，
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故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
6．(2014年高考新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长
线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
解析：(1)证明：由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.
由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN
上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，
即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
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又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
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