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数学破题36计第33计 导数开门 腾龙起凤

2015-10-13  时为舔

33 导数开门 腾龙起凤

●计名释义

导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化,它不仅是数学解题的工具,又是一种先进的思维取向.

近年高考对导数加大了力度,不仅体现在解题工具上,更着力于思维取向的考查.导数,她像是一条腾跃的龙和开屏的凤,潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领,辨证思想的渗透,帮助着我们确立科学的思维取向.

●典例示范

1   2005年北京卷)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为              ,切线的斜率为                      .

分析   本题中没有给出切线方程,而要我们求切点坐标和切线斜率,似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义,我们不妨一试.

解答   对于未给定切点的要先求导数,即y=ex)′.

设切点为(x0e)y=exyx= x=e.           则切线方程为y-e=e(x-x0),

∵切线过(00)点,0e=e(0-x0),∴x0=1,∴e=e,∴切点坐标为(1e),切线斜率为e.

点评   求导既是一种解题方法,又是一种思维取向,故要求我们将方法与思维并存,表里合一,协调匹配.

2   若函数f (x)=logax3-ax) a>0,a1)在区间(0)内单调递增,则a的取值范围是                                                               (      )

A.            B.          C.         D.

解答   B   u=x3-ax,则u=3x2-a.

a>1时,f (x)上单调递增,必须u=3x2-a>0,即a<3x2上恒成立.0<3x2<,∴a0,这与a>1矛盾.

0<a<1时,f (x)上单调递增,必须u=3x2-a<0,即a>3x2上恒成立,

a且(-3 -a (-)>0,即a>,故有a<1,故正确答案为B.

点评   此题是对数型复合函数,因真数含立方,故宜用导数解决.

3   已知aR,讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.

解答   f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).

f′(x)0x2+(a+2)x+(2a+1)=0.

(1)Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.

a<0a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0.  有两个不同实根x1x2,不妨设x1<x2,于是

f(x)=ex(x-x1)(x-x2).

从而有下表:

x

-∞,x1

x1

x1x2

x2

x2+∞)

fˊ(x)

+

0

-

0

+

f (x)

f (x1)为极大值

f (x2)为极小值

 

即此时f (x)有两个极值点.

(2)当在Δ=0,即a=0a= 4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是

f(x)=ex(x-x1)2.

故当x<x1时,f(x)>0;当x>x2时,f(x)>0.因此f (x)无极值.

(3)Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)>0,故f (x)为增函数,此时f (x)无极值.因此  a>4a<0时,f (x)2个极值点,当0a4时,f (x)无极值点.

点评   此题虽不是求极值,但确定极值点个数实际上还是考查极值,解答时最好列表分析,便于确定极值点的个数.

●对应训练

1.已知函数f (x)=的图象在点M-1f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.

(1)求函数y=f (x)的解析式;        2)求函数y=f (x)的单调区间.

2.已知函数f (x)=x∈[01.

()f (x)的单调区间和值域;

(Ⅱ)设a1,函数g (x)=x3-3a2x-2ax∈[01.若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1,使得g (x)=f (x1)成立,求a的取值范围.

3.已知a0,函数f (x)=(x2-2ax)ex.

()x为何值时,f x)取得最小值?证明你的结论;

(Ⅱ)设f (x)在[-11]上是单调函数,求a的取值范围.

●参考答案

1.分析:由已知导出f (-1)=-2,结合f(-1)= -,易求出ab的值.

解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f (-1)+5=0,即f (-1)=-2f(-1)= -.

f(x)=,∴

解得a=2b=3(b+10b= -1舍去).所以所求的函数解析式是f (x)=.

(2)f(x)=.-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2x2=3+2,当x<3-2,或x>3+2时,f(x)<0;

3-2<x<3+2时,f(x)>0.  所以f (x)= (-∞,3-2内是减函数;

在(3-23+2)内是增函数;           在(32+)内是减函数.

点评:本题主要考查函数的单调性,导数的应用等知识,考查运用数学知识分析、解决问题的能力.

2.解析()对函数f (x)求导,f(x)=

f(x)=0解得x=x=.

x变化时,f(x)f (x)的变化情况如下表:

x

0

0

1

1

fˊ(x)

+

-

0

+

-

f(x)

-4

-3

所以,当x(0)时,f (x)是减函数;

x(1)时,f (x)是增函数;

x∈[0,1]时,f (x)的值域为[-4,-3.

()对函数g (x)求导,得g(x)=3(x2-a2).

因为a1,当x(0,1)时,g(x)<3(1-a2)0.

因此当x(0,1)时,g (x)为减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)g(0).

g (1)=1-2a-3a2g(0)= -2a,即当x∈[0,1]时有g (x)∈[1-2a-3a2-2a.

任给x1∈[01],f (x1)∈[-4,-3,存在x0∈[01]使得g(x0)= f (x1),则

1-2a-3a2-2a-4,-3.

解①式得a1a-                解②式得a.

a1,故a的取值范围为1a.

点评:本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识,以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.

3.分析:(Ⅰ)利用导数的性质解决问题.

()利用函数f (x)在[-11]上是单调函数的充要条件是x21.(x=x2f (x)取到极小值)

()对函数f (x),求导数,得:f(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=x2+2x(1-a)x-2aex,令

f(x)=0,得[x2+2(1-a)x-2aex=0,从而x2+2(1-a)x-2a=0.

解得x1=a-1-x2=a-1+,其中x1<x2.

x变化时,f(x)f (x)的变化如下表

x

-∞,x1

x1

x1x2

x2

x2+∞)

fˊ(x)

+

0

-

0

+

f(x)

极大值

极小值

f (x)x=x1处取到极大值,在x=x2处取到极小值. a0时,x1<-1x20f (x)在(x1x2)为减函数,在(x2,+)为增函数,而当x<0时,f (x)=x(x-2a)ex>0,当x=0时,f (x)=0.

所以当x=a-1+时,f (x)取得最小值.

()a0时,f (x)在[-11]上为单调函数的充要条件是x21,即a-1+1,解得:a,综上,f(x)在[-11]上为单调函数的充分必要条件为a,即a的取值范围是[+).

点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.

 

 

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