数学破题36计第33计 导数开门 腾龙起凤

第33计 导数开门 腾龙起凤

●计名释义

导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.

近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.

●典例示范

【例1】   （2005年北京卷）过原点作曲线y=e^x的切线，则切点的坐标为              ，切线的斜率为                      .

【分析】   本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.

【解答】   对于未给定切点的要先求导数，即y′=（e^x）′.

设切点为(x₀，e)，y′=e^x，y_{x= x}=e.           则切线方程为y-e=e(x-x₀),

∵切线过（0，0）点，0－e=e(0-x₀)，∴x₀=1，∴e=e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e.

【点评】   求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.

【例2】   若函数f (x)=loga（x³-ax) （a>0,a≠1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是                                                               (      )

A.            B.          C.         D.

【解答】   B   设u=x³-ax，则u′=3x²-a.

当a>1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x²-a>0，即a<3x²在上恒成立.又0<3x²<，∴a≤0，这与a>1矛盾.

当0<a<1时，f (x)在上单调递增，必须u′=3x²-a<0，即a>3x²在上恒成立，

∴a≥且（-）³ -a (-)>0，即a>,故有≤a<1,故正确答案为B.

【点评】   此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.

【例3】   已知a∈R，讨论函数f (x)=e^x(x²+ax+a+1)的极值点的个数.

【解答】   f′(x)=e^x(x²+ax+a+1)+e^x(2x+a)=e^x［x²+(a+2)x+(2a+1)］.

令f′（x)＝0得x²+(a+2)x+(2a+1)=0.

(1)当Δ=(a+2)²-4(2a+1)=a²-4a=a(a-4)>0.

即a<0或a>4时，方程x²+(a+2)x+(2a+1)=0.  有两个不同实根x₁，x₂，不妨设x₁<x₂，于是

f′(x)=e^x(x-x₁)(x-x₂).

从而有下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
fˊ(x)	+	0	-	0	+
f (x)	↗	f (x1)为极大值	↘	f (x2)为极小值	↗

 

即此时f (x)有两个极值点.

(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x²+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x₁=x₂.于是

f′(x)=e^x(x-x₁)².

故当x<x₁时，f′(x)>0；当x>x₂时，f′(x)>0.因此f (x)无极值.

(3)当Δ<0，即0<a<4时，x²+(a+2)x+(2a+1)>0，f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+(2a+1)］>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此  当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f (x)无极值点.

【点评】   此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.

●对应训练

1.已知函数f (x)=的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.

(1)求函数y=f (x)的解析式；        （2）求函数y=f (x)的单调区间.

2.已知函数f (x)=，x∈［0，1］.

(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域；

（Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x³-3a²x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x₁∈［0,1］，总存在x₀∈［0,1］,使得g (x)=f (x₁)成立，求a的取值范围.

3.已知a≥0，函数f (x)=(x²-2ax)e^x.

(Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围.

●参考答案

1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= -，易求出a、b的值.

解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′(-1)= -.

∵f′(x)=，∴



即

解得a=2，b=3(∵b+1≠0，b= -1舍去）.所以所求的函数解析式是f (x)=.

(2)f′(x)=.令-2x²+12x+6=0，解得x₁=3-2，x₂=3+2，当x<3-2，或x>3+2时，f′(x)<0;

当3-2<x<3+2时，f′(x)>0.  所以f (x)= 在(-∞，3-2内是减函数；

在（3-2，3+2)内是增函数；           在（3＋2，+∞)内是减函数.

点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力.

2.解析：(Ⅰ)对函数f (x)求导,得f′(x)=，

令f′(x)=0解得x=或x=.

当x变化时，f′(x)、f (x)的变化情况如下表：

x	0	（0，）		（，1）	1
fˊ(x)	+	-	0	+	-
f(x)		↘	-4	↗	-3

所以，当x∈(0，)时，f (x)是减函数；

当x∈(，1)时，f (x)是增函数；

当x∈［0,1］时，f (x)的值域为［－4，－3］.

(Ⅱ)对函数g (x)求导，得g′(x)=3(x²-a²).

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1-a²)≤0.

因此当x∈(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x∈［0,1］时有g(x)∈［g(1)，g(0)］.

又g (1)=1-2a-3a²，g(0)= -2a，即当x∈［0,1］时有g (x)∈［1-2a-3a²，-2a］.

任给x₁∈［0，1］，f (x₁)∈［-4,-3］,存在x₀∈［0，1］使得g(x₀)= f (x₁)，则

［1-2a-3a²，-2a］［-4,-3］.

即

解①式得a≥1或a≤-；                解②式得a≤.

又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.

点评：本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.

3.分析：（Ⅰ)利用导数的性质解决问题.

(Ⅱ)利用函数f (x)在［－1，1］上是单调函数的充要条件是x₂≥1.(x=x₂时f (x)取到极小值）

解：(Ⅰ)对函数f (x)，求导数，得：f′(x)=(x²-2ax)e^x+(2x-2a)e^x=［x²+2x(1-a)x-2a］e^x，令

f′(x)=0，得［x²+2(1-a)x-2a］e^x=0，从而x²+2(1-a)x-2a=0.

解得x₁=a-1-，x₂=a-1+，其中x₁<x₂.

当x变化时，f′(x)、f (x)的变化如下表

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
fˊ(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

即f (x)在x=x₁处取到极大值，在x=x₂处取到极小值. 当a≥0时，x₁<-1，x₂≥0，f (x)在（x₁，x₂)为减函数，在(x₂,+∞)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)e^x>0，当x=0时，f (x)=0.

所以当x=a-1+时，f (x)取得最小值.

(Ⅱ)当a≥0时，f (x)在［－1，1］上为单调函数的充要条件是x₂≥1，即a-1+≥1,解得：a≥，综上，f(x)在［－1，1］上为单调函数的充分必要条件为a≥，即a的取值范围是［，+∞).

点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.