第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.21.2.2第1课时新课标A版·数学·必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(第1课时)第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.21.2.2第1课时新课标A版·数学·必修1课时学案
课时作业
课时学案
例1下表给出的y与x的关系,是函数关系吗?
x 1921 1927 1949 1949 题型一列表法
【解析】x,y的取值范围分别是
A={1921,1927,1949,1997,2013,2014}{x|1949 它们都是非空数集,且按照表格中给出的对应关系,对任意的xA,在B中都有唯一确定的值与之对应,所以y是x的函数.
探究1列表法是表示函数的很浅显、很直接的方法.不需计算即可看出自变量及其函数值.
思考题1下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
(1)上表反映了几个函数关系?这些函数的自变量是什么?定义域是什么?
(2)上述4个函数能用解析式法表示吗?
答案(1)4个;测试序号:{1,2,3,4,5,6}.
(2)不能用解析式法表示.
例2作出下列函数的图像.
(1)y=;(2)y=1-x(xZ).
题型二图像法
【解析】
(1)函数定义域是{x|xR,且x≠0}.
由于y=
该函数的图像是除去端点(0,0)的两条射线.图像如图所示.
(2)∵定义域为一些独立的连续整数,
这个函数的图像由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上,这些点称为整点,如下图所示.
探究2(1)函数的图像通常是一段或几段光滑的曲线,但有时也可以由一些孤立的点或几段线段(或射线)组成.如本例中的(1),(2).
(2)有些函数应求定义域,在定义域上化简函数式后,再作图较合理.如(1).
(3)作函数图像的一般步骤是:列表、描点、连线,如果我们对函数图像的大致形状比较熟悉,那么可不必列表,直接描点、连线,如(1).
思考题2作函数y=的图像.
【答案】
1.待定系数法
例3已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=16x-25,求f(x).
【思路点拨】应该根据题意,设f(x)=kx+b(k≠0)的形式,再写出复合函数f[f(x)]的解析式来求k与b的值.
题型三求函数的解析式
【解析】设f(x)=kx+b(k≠0),则
f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,
所以k2x+kb+b=16x-25.
所以或
所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+.
【讲评】此类型题目一般说明函数的类型,需要我们确定其系数或一些常量,即“待定系数法”,而此题的关键在于根据“恒等式”的特点来写出等量关系的,这也是今后常用的一种思维方法.
探究3待定系数法
我们在解决某些问题时,常用一些字母来表示需要确定的系数,然后根据一些条件或要求来确定这些系数,从而解决问题,这样的思维方法叫做待定系数法.
待定系数法适用于:已知所要求的解析式f(x)的类型,如是一次函数、二次函数,等等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系数.
思考题3(1)已知f[f(x)]=3x+2,求一次函数f(x)的解析式.
(2)已知f(x)为多项式,f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求f(x)的解析式.
【答案】(1)f(x)=x+-1或f(x)=-x-(+1)
(2)f(x)=x2-x+1
2.换元法、凑配法
例4已知f(+1)=x+2+1,求f(x)的解析式.
【思路点拨】如果把+1视为t,那么左边就是一个关于t的函数f(t).只要在等式+1=t中,用t表示x,将右边化成t的表达式,问题即可解决.
【解析】解法1:令t=+1,则x=(t-1)2.
由于x≥0,所以t≥1.
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2,
f(x)=x2(x≥1).
解法2(凑配法):
由于f(+1)=x+2+1=(+1)2,
把+1看作新的自变量x,则f(x)=x2.
+1≥1,其定义域应为{x|x≥1},
即f(x)=x2(x≥1).
探究4换元法
换元法是已知y=f[g(x)]的解析式,求f(x)的解析式的方法.其具体步骤是:令t=g(x),由t=g(x)求出x,即用t表示x,代入y=f[g(x)]中,得出f(t),即可得到f(x)的解析式.值得注意的是,t的取值范围由t=g(x)而定,也就是f(x)的定义域.
思考题4已知f=,求f(x)的表达式.
【答案】f(x)=(x≠0)
3.方程思想、消元法
例5如果函数f(x)满足方程2f(x)+f=2x,
xR且x≠0,求f(x)的解析式.
【思路点拨】欲求f(x),必须消去已知方程中的f,不难想到再寻找一个方程,可由x与的倒数关系,用去替换已知式中的x,便可得另一个方程,然后联立解之.
【解析】2f(x)+f=2x,
将x换成,则换成x,
得2f+f(x)=.
由消去f,得3f(x)=4x-.
f(x)=x-,(xR且x≠0).
探究5消元法
将函数中的自变量x适当地置换为别的自变量,得到一个新的函数方程,从两个函数方程组成的方程组中,通过消元,得到所求函数解析式.
思考题5已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
【解析】
∴f(x)=x2-2x.
课后巩固
1.下列结论正确的是()
A.任意一个函数都可以用解析式表示
B.函数y=x,x{1,2,3,4}的图像是一条直线
C.表格
x 有理数 无理数 y 1 -1 可以表示y是x的函数
D.图像可表示函数y=f(x)的图像
答案C
2.已知f(x)=3x2+1,则f[f(1)]的值等于()
A.25B.36
C.42D.49
答案D
3.函数f(x)=x+的图像是下图中的()
答案C
4.“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……;用S1、S2分别表示乌龟和兔子所走的路程,x为时间,则如下图所示的图像中与故事情节相吻合的是()
答案D
5.已知f(2x+1)=3x-4,f(a)=4,则a=________.
答案
解析令3x-4=4,得x=.
当x=时2x+1=2×+1=,即a=.
6.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每辆一次0.3元.
(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;
(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中,电动车的辆次数不小于25%,但不大于40%,试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.
分析让学生审清题意读懂题,求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.
解析(1)由题意得
y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,xN且0≤x≤3500.
(2)若电动车的辆次数不小于25%,但不大于40%,
则3500×(1-40%)≤x≤3500×(1-25%),
即2100≤x≤2625.
画出函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的图像,可得函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330],即收入在1225元至1330元之间.
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