第八讲一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程
2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果ax2=b则X2=X1=X2=
2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边
③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式
④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，则方程的求根公式
为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示
①当时，方程有两个不等的实数根
②当时，方程看两个相等的实数根
③当时，方程没有实数根
【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】
四、一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2
则X1+X2=X1X2=
一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
增长率问题：连续两率增长或降低的百分数a（1+X）2=b
利润问题：总利润=×或总利润=—
几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的解
例1（2013?牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
思路分析：将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，∴a?12+b?1+5=0，∴a+b=-5，∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018．故选A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．
对应训练
1．（2013?黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是1
．
1．1
考点二：一元二次方程的解法
例（2013?宁夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）
A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2
思路分析：先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
解：x（x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=-1．故选D．
点评：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
例（2013?佛山）解方程x2-2x-2=0+1
．
思路分析：首先把常数-2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．
解：x2-2x-2=0，移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，（x-1）2=3，两边直接开平方得：x-1=±，则x1=+1，x2=-+1．
点评：此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
例（2013?兰州）解方程：x2-3x-1=0．
思路分析：利于求根公式x=来解方程．
解：关于x的方程x2-3x-1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-1，则x═=，解得，x1=，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程--公式法．利于公式x=来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义．
对应训练
2．（2013?陕西）一元二次方程x2-3x=0的根是x1=0，x2=3
．
2．x1=0，x2=3
3．（2013?白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是-1或4
．
3．-1或4
．（2013?山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．
解：（2x-1）2=x（3x+2）-7，4x2-4x+1=3x2+2x-7，x2-6x=-8，（x-3）2=1，x-3=±1，x1=2，x2=4．
考点三：根的判别式的运用
例（2013?乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
思路分析：（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
解答：（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
对应训练
5．（2013?泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）
A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=0
5．A
．（2013?乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
．D
．（2013?六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
．D
．（2013?北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
．解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜；（2）由k为整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=-1±，∵方程的解为整数，∴5-2k为完全平方数，则k的值为2．
考点：一元二次方程的应用
例6（2013?连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．
思路分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．
解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm，由题意，得（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，当x=12时，较长的为40-12=28cm，当x=28时，较长的为40-28=12＜28（舍去）∴较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm，由题意，得（）2+（）2=48，变形为：m2-40m+416=0，∵△=（-40）2-4×416=-64＜0，∴原方程无解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．
对应训练
．（2013?重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
．解：（1）设甲队单独完成需要x天，则乙队单独完成需要x-5天，由题意得，x（x-5）=6（x+x-5），解得x1=15，x2=2（不合题意，舍去），则x-5=10．答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，由题意得，100y+（100+50）≤1500，解不等式得，y≤8.57，∵施工时间按月取整数，∴y≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【聚焦山东中考】
．（2013?威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）
A．m≥- B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
．B
．（2013?日照）已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）
A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜0
．A
．（2013?滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
．C
．（2013?潍坊）已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（）
A．当k=0时，方程无解
B．当k=1时，方程有一个实数解
C．当k=-1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．
．C
．（2013?东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
．C
．（2013?滨州）一元二次方程2x2-3x+1=0的解为．
．x1=，x2=1，x2=1
．（2013?哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%
．
．20%．（2013?临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或2
．
．3或2
．（2013?日照）已知，关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．
．解：原方程可变形为：x2-2（m+1）x+m2=0，∵x1、x2是方程的两个根，∴△≥0，即4（m+1）2-4m2≥0，∴8m+4≥0，解得：m≥-，又x1、x2满足|x1|=x2，∴x1=x2或x1=-x2，即△=0或x1+x2=0，由△=0，即8m+4=0，得m=-，由x1+x2=0，即：2（m+1）=0，得m=-1，（不合题意，舍去），则当|x1|=x2时，m的值为-．
．（2013?菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0?（k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
．（1）证明：k≠0，△=（4k+1）2-4k（3k+3）=（2k-1）2，∵k是整数，∴k≠，2k-1≠0，∴△=（2k-1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：y是k的函数．解方程得，x=，∴x=3或x=1+，∵k是整数，∴≤1，∴1+≤2＜3．又∵x1＜x2，∴x1=1+，x2=3，∴y=3-（1+）=2-．
．（2013?淄博）关于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值．
．解：（1）根据题意△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；（2）①当a=7时，原方程变形为x2-8x+9=0，△=64-4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4-；②∵x2-8x+9=0，∴x2-8x=-9，所以原式=2x2-=2x2-16x+=2（x2-8x）+=2×（-9）+=-．
．（2013?泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
．解：由题意得出：200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+[（4-6）（600-200-（200+50x）]=1250，即800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1250，整理得：x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，∴10-1=9，答：第二周的销售价格为9元．
．（2013?威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）
．解：（1）根据小亮的设计方案列方程得：（52-x）（48-x）=2300解得：x=2或x=98（舍去）∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；（2）作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J，∵AB∥CD，∠1=60°，∴∠ADI=60°，∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC=AD由（1）得x=2，∴BC=HE=2=AD在Rt△ADI中，AI=2sin60°=，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48-52×2-48×2+（）2=2299平方米．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2013?新疆）方程x2-5x=0的解是（）
A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0
1．C
．（2013?安顺）已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
．A
．（2013?鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
．C
．（2013?昆明）一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
．A
．（2013?珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
4．B
．（2013?十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
．D
．（2013?宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0
．A
．（2013?大连）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞4
．D
．（2013?咸宁）关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）
A．2 B．1 C．0 D．-1
．C
．（2013?丽水）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
．D
．（2013?兰州）用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）
A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2
．D
二、填空题
1．（2013?黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=-2
．
1．-2
．（2013?常州）已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=-2或1
．
13．-2或1
．（2013?天津）一元二次方程x（x-6）=0的两个实数根中较大的根是6
．
．6
．（2013?温州）方程x2-2x-1=0的解是。
．x1=1+，x2=1-．
．（2013?广安）方程x2-3x+2=0的根是1或2
．
．1或2
．（2013?张家界）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是1
．
．1
．（2013?沈阳）若关于x的一元二次方程x2+4ax+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是或a＜0
．
．a＞或a＜0
．（2013?巴中）方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为15
．
．15
．（2013?绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，则△ABC的周长6或12或10
．
．6或12或10
三、解答题
1．（2013?无锡）解方程：x2+3x-2=0．
1．解：（1）x2+3x-2=0，∵b2-4ac=32-4×1×（-2）=17，∴x=，x1=，x2=-。
．（2013?杭州）当x满足条件时，求出方程x2-2x-4=0的根．
．解：由求得，则2＜x＜4．解方程x2-2x-4=0可得x1=1+，x2=1-，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合题意∴x=1+．
．（2013?南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
．解：（1）根据题意，得m≠1．△=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4，则x1=，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，∴m-1=1或m-1=2，解得，m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
．（2013?淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
．解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：[80-2（x-10）]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=30时，80-2（30-10）=40（元）＜50不合题意舍去；答：她购买了20件这种服装．
．（2013?绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
．解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：64（1+x）2=100解得：x=0.25=25%或x=-2.25四月份的销量为：100（1+25%）=125辆，答：四月份的销量为125辆．（2）设A型车x辆，根据题意得：2×，解得：30≤x≤35∵B型车的利润大于A型车的利润，∴当A型车进货量最小时有最大利润，∴最大利润为：200×30+300×15=10500；
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