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高考数学复习必备精品:基本初等函数

 时为舔 2015-10-22


4   基本初等函数

一.【课标要求】

1.指数函数

1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景;

2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。

3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;

4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型

2.对数函数

1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;

2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;

3.知道指数函数与对数函数互为反函数(a0a1)。

4.幂函数

1)了解幂函数的概念

2)结合函数y=x, ,y=, y=,y=,y=的图象,了解它们的变化情况

二.【命题走向】

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。


三.【要点精讲】

1.指数与对数运算

1)根式的概念:

①定义:若一个数的次方等于,则这个数称次方根。即若,则次方根

1)当为奇数时,次方根记作

2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作

②性质:12)当为奇数时,

3)当为偶数时,

2).幂的有关概念

①规定:1N*2

                   n

3Q4N* 

②性质:1Q);

2 Q);

3 Q)。

(注)上述性质对rR均适用。

3).对数的概念

①定义:如果b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数

1)以10为底的对数称常用对数,记作

2)以无理数为底的对数称自然对数,,记作

②基本性质:

1)真数N为正数(负数和零无对数);2

34)对数恒等式:

③运算性质:如果

1

2

3R

④换底公式:

12

2.指数函数与对数函数

1)指数函数:

①定义:函数称指数函数,

1)函数的定义域为R2)函数的值域为

3)当时函数为减函数,当时函数为增函数。

 

②函数图像:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)指数函数的图象都经过点(01),且图象都在第一、二象限;

2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴);

3)对于相同的,函数的图象关于轴对称

 

 

③函数值的变化特征:

 

 

 

 

 

 

 

2)对数函数:

①定义:函数称对数函数,

1)函数的定义域为2)函数的值域为R

3)当时函数为减函数,当时函数为增函数;

4)对数函数与指数函数互为反函数

②函数图像:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


1)对数函数的图象都经过点(01),且图象都在第一、四象限;

2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴);

4)对于相同的,函数的图象关于轴对称。

 

③函数值的变化特征:

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


   

3)幂函数

1掌握5个幂函数的图像特点

2a>0时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a<0时在第一象限恒为减函数

3)过定点(11)当幂函数为偶函数过(-1,1,当幂函数为奇函数时过(-1-1

a>0时过(00

4)幂函数一定不经过第四象限

四.【典例解析】

题型1:指数运算

1.(1)计算:

2)化简:

解:(1)原式=

2)原式=

点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。

2.(1)已知,求的值

解:∵

又∵

点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。

题型2:对数运算

2.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点,则满足27x的值是       .

答案 

 

3.计算

1;(2

3

解:(1)原式

          

2)原式

          

3)分子=

分母=

原式=

点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧

4.设为正数,且满足 

1)求证:

2)若,求的值。

证明:(1)左边

解:(2)由

……………①

………… ……………②

由①②得……………………………………③

由①得,代入

………………………………④

由③、④解得,从而

点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3:指数、对数方程

5(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)

已知定义域为R的函数是奇函数.

1)求a,b的值;

2)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.

  1) 因为R上的奇函数,所以

从而有 又由,解得

2)解法一:由(1)知

由上式易知R上为减函数,又因是奇函数,从而不等式

等价于

R上的减函数,由上式推得

即对一切从而

解法二:由(1)知

又由题设条件得

 

整理得,因底数2>1,故 

上式对一切均成立,从而判别式

 

62008广东 7

,若函数有大于零的极值点,则(  B

A                 B               C              D

【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为.

点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。

题型4:指数函数的概念与性质

7.设   

A0            B1              C2              D3

解:C

点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值

8.已知试求函数f(x)的单调区间。

解:令,则x=tR

所以,(xR)。

因为f(x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故只需讨论f(x)[0+∞)上的单调性。

任取,且使,则

1)当a>1时,由,有,所以,即f(x)[0+]上单调递增。

2)当0<a<1时,由,有,所以,即f(x)[0+]上单调递增。

综合所述,[0+]f(x)的单调增区间,(-∞,0)是f(x)的单调区间。

点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。

题型5:指数函数的图像与应用

9.若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是(   

Am≤-1               B.-1m<0                   Cm1             D0<m1

解:

画图象可知-1m<0

答案为B

点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。

10.设函数的取值范围。

解:由于是增函数,等价于    ①

1)时,①式恒成立;

2)时,,①式化为,即

3)时,,①式无解;

综上的取值范围是

点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理

题型6:对数函数的概念与性质

11.(1)函数的定义域是(    

A          B        C          D

2)(2006湖北)设f(x),则的定义域为(    

A             B(4,1)(14)

C(2,1)(12)            D(4,2)(24)

解:(1D2B

点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

122009广东三校一模)设函数.

(1)的单调区间;

(2)若当,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.

  1)函数的定义域为.    1

;                                                    2                    

,                                               3

则增区间为,减区间为.                                      4

(2),(1)上递减,上递增,                                                                   6

,,                  8

, 的最大值为,,不等式恒成立.                                                               9

(3)方程.,

.;.

所以g(x)[0,1]上递减,在[12]上递增.

g(0)=1g(1)=2-2ln2g(2)=3-2ln3,∴g(0)g(2)g(1)                10

所以,当a1时,方程无解;

3-2ln3a1时,方程有一个解,

2-2ln2aa3-2ln3时,方程有两个解;

a=2-2ln2时,方程有一个解;

a2-2ln2时,方程无解.                                              13

字上所述,a时,方程无解;

a=2-2ln2时,方程有唯一解;

时,方程有两个不等的解.                                14

 

13.当a>1时,函数y=logaxy=(1a)x的图象只可能是(    )

解:当a>1时,函数y=logax的图象只能在AC中选,

a>1时,y=(1a)x为减函数。

答案:B

点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质,根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性

14.设AB是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为aa+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D

1)求点D的坐标;

2)当△ABC的面积大于1, 求实数a的取值范围

解:(1)易知D为线段AB的中点, A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))

所以由中点公式得D(a+2, log2 )

2SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB== log2,

其中A,B,C′为A,B,Cx轴上的射影。

SABC= log2>1, 0< a<22

点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来处理复杂问题。

题型8:指数函数、对数函数综合问题

15.在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),,Pn(an,bn)…,对每个自然数nPn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上,且点Pn,(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。

(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;

(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;

(3)Cn=lg(bn)(nN*),a(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由

解:(1)由题意知:an=n+,bn=2000()

(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减,

∴对每个自然数n,bn>bn+1>bn+2

则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn

()2+()1>0

解得a<5(1+)a>5(1)

5(1)<a<10

(3)5(1)<a<10,∴a=7

bn=2000()。数列{bn}是一个递减的正数数列,

对每个自然数n2,Bn=bnBn1

于是当bn1时,Bn<Bn1,当bn<1时,BnBn1

因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn1bn+1<1

bn=2000()1得:n20

n=20

点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质结合数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。

16.已知函数为常数)

1)求函数f(x)的定义域;

2)若a=2,试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性

3)若函数y=f(x)是增函数,求a的取值范围。

解:(1)由

a0x0

  

f(x)的定义域是

2)若a=2,则

 

f(x)为增函数。

3)设

 

  

f(x)是增函数,

f(x1)f(x2)

 

联立①、②知a1

a(1+)

点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可

题型9:课标创新题

17.对于在区间上有意义的两个函数f(x)g(x),如果对任意的,均有,则称f(x)g(x)上是接近的,否则称f(x)g(x)上是非接近的,现有两个函数,给定区间

1)若在给定区间上都有意义,求a的取值范围;

2)讨论在给定区间上是否是接近的。

解:(1)两个函数在给定区间有意义,因为函数给定区间上单调递增,函数在给定区间上恒为正数,

故有意义当且仅当

2)构造函数

对于函数来讲,

显然其在上单调递减,在上单调递增。

在其定义域内一定是减函数

由于,得

所以原函数在区间内单调递减,只需保证

时,在区间上是接近的;

 时,在区间上是非接近的

点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解不等式即可。

18.设,且,求的最小值。

解:令

,∴

   ,∴

 ,∵,∴,即,∴

  

 ,∴当时,

点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

19.2009陕西卷文)设曲线高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。在点(11)处的切线与x轴的交点的横坐标为高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的值为

A.高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。          B.高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。         C. 高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。         D.1

答案   B

解析  高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。得在点(11)处的切线的斜率高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,在点

11)处的切线方程为高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,不妨设高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( ),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。, 故选 B.

 

五.【思维总结】

1(其中)是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底;

2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验;

3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识;

4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析;

5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类;

6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力

 

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