高考数学复习必备精品：基本初等函数

第4讲   基本初等函数

一．【课标要求】

1．指数函数

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的¹⁴C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

2．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。

4.幂函数

（1）了解幂函数的概念

（2）结合函数y=x, ,y=, y=,y=,y=的图象，了解它们的变化情况

二．【命题走向】

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

三．【要点精讲】

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，

1）当为奇数时，次方根记作；

2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作

②性质：1）；2）当为奇数时，；

3）当为偶数时，。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）N^*；2）；

                   n个

3）Q，4）、N^*  且

②性质：1）、Q）；

2）、 Q）；

3） Q）。

（注）上述性质对r、R均适用。

（3）．对数的概念

①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，记作；

2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；

3）；4）对数恒等式：。

③运算性质：如果则

1）；

2）；

3）R）

④换底公式：

1）；2）。

2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

①定义：函数称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。

②函数图像：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；

3）对于相同的，函数的图象关于轴对称

①， ②， ③ ①， ②， ③，

③函数值的变化特征：

 

 

 

 

 

 

 

（2）对数函数：

①定义：函数称对数函数，

1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；

4）对数函数与指数函数互为反函数

②函数图像：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；

4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。

 

③函数值的变化特征：

	①， ②， ③. ①， ②， ③.

 

 

 

 

 

 

 

   

（3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）

当a>0时过（0，0）

4）幂函数一定不经过第四象限

四．【典例解析】

题型1：指数运算

例1．（1）计算：；

（2）化简：。

解：（1）原式=

；

（2）原式=

。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．（1）已知，求的值

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：对数运算

（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是       .

答案 

 

例3．计算

（1）；（2）；

（3）

解：（1）原式

           ；

（2）原式

           ；

（3）分子=；

分母=；

原式=。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧

例4．设、、为正数，且满足 

（1）求证：；

（2）若，，求、、的值。

证明：（1）左边

；

解：（2）由得，

∴……………①

由得………… ……………②

由①②得……………………………………③

由①得，代入得，

∵， ∴………………………………④

由③、④解得，，从而。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程

例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)

已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求a,b的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

解  （1） 因为是R上的奇函数，所以

从而有 又由，解得

（2）解法一：由（1）知

由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式

等价于

因是R上的减函数，由上式推得

即对一切从而

解法二：由（1）知

又由题设条件得

即 

整理得，因底数2>1，故 

上式对一切均成立，从而判别式

 

例6．（2008广东 理7）

设，若函数，有大于零的极值点，则（  B ）

A．                 B．               C．              D．

【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.

点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。

题型4：指数函数的概念与性质

例7．设（    ）

A．0           　B．1              C．2              D．3

解：C；，。

点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值

例8．已知试求函数f(x)的单调区间。

解：令，则x=，t∈R。

所以即，（x∈R）。

因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。

任取，，且使，则

（1）当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

（2）当0<a<1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，（－∞，0）是f(x)的单调区间。

点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。

题型5：指数函数的图像与应用

例9．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（    ）

A．m≤－1               B．－1≤m<0                   C．m≥1             D．0<m≤1

解：，

画图象可知－1≤m<0。

答案为B。

点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。

例10．设函数的取值范围。

解：由于是增函数，等价于　　　　①

1)当时，，①式恒成立；

2)当时，，①式化为，即；

3)当时，，①式无解；

综上的取值范围是。

点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理

题型6：对数函数的概念与性质

例11．（1）函数的定义域是（     ）

A．          B．        C．          D．

（2）（2006湖北）设f(x)＝，则的定义域为（     ）

A．             B．(－4,－1)(1，4)

C．(－2,－1)(1，2)            D．(－4,－2)(2，4)

解：（1）D（2）B。

点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

例12．（2009广东三校一模）设函数.

(1)求的单调区间;

(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.

解  （1）函数的定义域为.    1分

由得;                                                    2分                    

由得,                                               3分

则增区间为,减区间为.                                      4分

(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,                                                                   6分

由,且,                  8分

时, 的最大值为,故时,不等式恒成立.                                                               9分

(3)方程即.记,则

.由得;由得.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1)                10分

所以，当a＞1时，方程无解；

当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，

当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；

当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解.                                              13分

字上所述，a时，方程无解；

或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解.                                14分

 

例13．当a>1时，函数y=log_ax和y=(1－a)x的图象只可能是(    )

解：当a>1时，函数y=log_ax的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。

答案：B

点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性

例14．设A、B是函数y= log₂x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log₂x图象交于点C, 与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围

解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log₂a ), B(a+4, log₂(a+4))，

所以由中点公式得D(a+2, log₂ )。

（2）S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}- S_{梯形AA′B′B}=…= log₂,

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S_△ABC= log₂>1, 得0< a<2－2。

点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。

题型8：指数函数、对数函数综合问题

例15．在xOy平面上有一点列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…，对每个自然数n点P_n位于函数y=2000()^x(0<a<1)的图象上，且点P_n,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形。

(1)求点P_n的纵坐标b_n的表达式；

(2)若对于每个自然数n，以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由

解：(1)由题意知：a_n=n+,∴b_n=2000()。

(2)∵函数y=2000()^x(0<a<10)递减，

∴对每个自然数n,有b_n>b_n+1>b_n+2。

则以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2+b_n+1>b_n，

即()²+()－1>0，

解得a<－5(1+)或a>5(－1)。

∴5(－1)<a<10。

(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7

∴b_n=2000()。数列{b_n}是一个递减的正数数列，

对每个自然数n≥2,B_n=b_nB_n－1。

于是当b_n≥1时，B_n<B_n－1，当b_n<1时，B_n≤B_n－1，

因此数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1<1，

由b_n=2000()≥1得：n≤20。

∴n=20。

点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。

例16．已知函数为常数）

（1）求函数f(x)的定义域；

（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性

（3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。

解：（1）由

∵a＞0，x≥0

  

∴f(x)的定义域是。

（2）若a=2，则

设 ， 则

故f(x)为增函数。

（3）设

 

   ①

∵f(x)是增函数，

∴f(x₁)＞f(x₂)

即  ②

联立①、②知a＞1，

∴a∈(1，+∞)。

点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可

题型9：课标创新题

例17．对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的，均有，则称f(x)与g(x)在上是接近的，否则称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。

（1）若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

（2）讨论与在给定区间上是否是接近的。

解：（1）两个函数与在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，

故有意义当且仅当；

（2）构造函数，

对于函数来讲，

显然其在上单调递减，在上单调递增。

且在其定义域内一定是减函数

由于，得

所以原函数在区间内单调递减，只需保证

当时，与在区间上是接近的；

 当时，与在区间上是非接近的

点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。

例18．设，，且，求的最小值。

解：令 ，

∵，，∴。

   由得，∴，

 ∴，∵，∴，即，∴，

   ∴，

 ∵，∴当时，。

点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

例19.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为

A.          B.         C.          D.1

答案   B

解析  对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点

（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.

 

五．【思维总结】

1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力

 

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