高考数学复习必备精品：函数基本性质

第3讲   函数基本性质

一．【课标要求】

1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；

2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；

二．【命题走向】

从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索

三．【要点精讲】

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

2 确定f(－x)与f(x)的关系；

3 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，   如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（f(x₁)>f(x₂)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂)

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；

②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

2 作差f(x₁)－f(x₂)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

    ③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数。

3．最值

（1）定义：

最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x₀∈I，使得f(x₀) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x₀∈I，使得f(x₀) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x₀∈I，使得f(x₀) = M；

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

2 利用图象求函数的最大（小）值；

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

4．周期性

（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为

四．【典例解析】

题型一：判断函数的奇偶性

例1．讨论下述函数的奇偶性：

解：（1）函数定义域为R，

   ，

∴f(x)为偶函数；

（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。

（2）须要分两段讨论：

①设

②设

③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；

由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数；

（3），∴函数的定义域为，

∴f(x)=log₂1=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；

（4）∵x²≤a², ∴要分a >0与a <0两类讨论，

①当a >0时，

  ，∴当a >0时，f(x)为奇函数；

   既不是奇函数，也不是偶函数.

点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）

例2．(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数，给出以下三个条件:

(1) 存在，使得；

(2) 成立；

(3) 在区间上是增函数.

若同时满足条件     和     （填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为       .

答案   满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等

题型二：奇偶性的应用

例3．山东省潍坊市2008年高三教学质量检测

 

已知函数为奇函数，，且不等式的解集是

∪

   （1）求a,b,c。

   （2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵

    ∴                                  ……1分

 

 

∵            的解集中包含2和－2,

   

∴              

         

即得所以       ……2分

     ∵ ∴     ……3分

     下证：当a>0时，在(0,+∞)上是增函数

     在(0,+∞)内任取x₁，x₂，且x₁<x₂，那么

    

     即       …5分

     所以，                                   

     综上所述：                        ……6分

（2）∵

     ∴在(－∞,0)上也是增函数。                             …7分

     又  ∴ 而 

所以，m为任意实数时，不等式 ……12分

 

点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式

题型三：判断证明函数的单调性

例5．（2008上海文，19）

（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．

已知函数．

（1）若，求的值；

（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．

【解】（1）.    …………….2分

         由条件可知，解得 …………6分

         ∵                              …………..8分

                   （2）当       ……………10分

                   即

                     ………………13分

故m的取值范围是                      …………….16分

 

 

点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁

例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。

解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决

在R上任取x₁、x₂，设x₁<x₂，∴f(x₂)= f(x₁)，

 

∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，

∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1;

①     若x₁<x₂<5，则0<f(x₁)<f(x₂)<1,  

②     ∴0< f(x₁)f(x₂)<1,

∴<0,

∴F (x₂)< F(x₁)；

②若x₂ >x₁>5，则f(x₂)>f(x₁)>1 ,

∴f(x₁)f(x₂)>1,

∴>0,

∴ F(x₂)> F (x₁)；

综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数

点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点

题型四：函数的单调区间

例7．(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则                                                                                                                (       ).     

A.           B.

C.           D.

答案   D

解析  因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.    

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.

例8．（1）求函数的单调区间；

（2）已知若试确定的单调区间和单调性。

解：（1）函数的定义域为，

分解基本函数为、

显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：

所以函数在上分别单调递增、单调递减。

（2）解法一：函数的定义域为R，

分解基本函数为和。

显然在上是单调递减的，上单调递增；

而在上分别是单调递增和单调递减的。且，

根据复合函数的单调性的规则：

所以函数的单调增区间为；单调减区间为。

解法二：，

，

 令 ，得或，

令 ，或

∴单调增区间为；单调减区间为。

点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。

题型五：单调性的应用

例9．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log₂(x²+5x+4)］≥0。

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log₂(x²+5x+4)］≥f(2)。

又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。

∴不等式可化为　　log₂(x²+5x+4)≥2      　　　　　　①

或　　　　　　　　log₂(x²+5x+4)≤－2                        ②

由①得x²+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0                           ③

由②得0＜x²+5x+4≤得

≤x＜－4或－1＜x≤                     ④

由③④得原不等式的解集为

{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。

例10．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由

解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数，

∴f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)，

即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos²θ－mcosθ+2m－2>0。

设t=cosθ,则问题等价地转化为函数

g(t)=t²－mt+2m－2=(t－)²－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正

∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；

当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2，

∴4－2<m≤2 

当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1。

∴m>2

综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2。

另法(仅限当m能够解出的情况)： cos²θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,］恒成立，等价于m>(2－cos²θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0,］恒成立

∵当θ∈［0,］时，(2－cos²θ)/(2－cosθ) ≤4－2，∴m>4－2。

点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题

题型六：最值问题

例11．（2009江苏卷）(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

解   本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

（1）若，则

（2）当时，

    当时，

    综上

（3）时，得，

当时，；

当时，△>0,得：

讨论得：当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为.

 

例12．设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+)。

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。

 　(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,

当m∈M时，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，

故f(x)的定义域为R

反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x²－4mx+4m²+m+>0。

令Δ＜0，即16m²－4(4m²+m+)＜0，解得m>1，故m∈M。

(2)解析：设u=x²－4mx+4m²+m+，

∵y=log₃u是增函数，

∴当u最小时，f(x)最小。

而u=(x－2m)²+m+，

显然，当x=m时，u取最小值为m+，

此时f(2m)=log₃(m+)为最小值。

(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3，

当且仅当m=2时等号成立。

∴log₃(m+)≥log₃3=1

点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理

题型七：周期问题

例13．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（     ）

A．         B．          C．          D．

解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。

所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。

同理，f(b+2x) =f(b－2x)，

所以f(2b－2x)=f(2x)，

所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。

所以f(2x)的一个周期为2b－2a，

故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。

点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）

例14．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。

①证明：；

②求的解析式；

③求在上的解析式。

解：∵是以为周期的周期函数，

∴，

又∵是奇函数，

∴，

∴。

②当时，由题意可设，

由得，

∴，

∴。

③∵是奇函数，

∴，

又知在上是一次函数，

∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而当时，，故时，。

∴当时，有，

∴。

当时，，

∴

∴。

点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征

五．【思维总结】

1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0；

2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；

3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；

4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。

6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决

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