2015年全国高考文科数学试题及答案-浙江卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合，，则（   ）

A．                   B．                C．              D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，，所以，故选A.

考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.

2、某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（   ）

A．                B．

C．               D．

【答案】C

考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.

 

3、设，是实数，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件          B．必要不充分条件

C．充分必要条件            D．既不充分也不必要条件

【答案】D

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

4、设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（   ）

A．若，则                B．若，则

C．若，则                  D．若，则

【答案】A

【解析】

试题分析：采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，时，可以相交；选项D中，时，也可以异面.故选A.

考点：直线、平面的位置关系.

5、函数（且）的图象可能为（   ）

A．              B．              C．              D．

【答案】D

【解析】

试题分析：因为，故函数是奇函数，所以排除A, B；取，则，故选D.

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（   ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.

7、如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（   ）

A．直线                   B．抛物线

C．椭圆                   D．双曲线的一支

【答案】C

【解析】

试题分析：由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.

考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.

8、设实数，，满足（   ）

A．若确定，则唯一确定               B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定             D．若确定，则唯一确定

【答案】B

【解析】

试题解析：因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定.故选B.

考点：函数概念

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9、计算：          ，          ．

【答案】

考点：对数运算

10、已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则          ，          ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题可得，，故有，又因为，即，所以.

考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.

11、函数的最小正周期是          ，最小值是          ．

【答案】

【解析】

试题分析：

，所以；.

考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.

12、已知函数，则          ，的最小值是        ．

【答案】

考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.

13、已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则        ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题可知，不妨，，设，则，，所以，所以.

考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.

14、已知实数，满足，则的最大值是         ．

【答案】15

【解析】

试题分析：

由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当

时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故

，所以，故该目标函数的最大值为.

考点：1.简单的线性规划；

15、椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是            ．

【答案】

考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. （本题满分14分）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.

（1）求的值；

（2）若，求的面积.

【答案】(1)；(2)

考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.

17. （本题满分15分）已知数列和满足，

.

（1）求与;

（2）记数列的前n项和为，求.

【答案】(1)；(2)

【解析】

试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.

考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.

18. （本题满分15分）如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.

(1)证明: ；             

(2)求直线和平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)略；(2)

 

 (2)作，垂足为F，连结BF.

因为平面，所以.

因为，所以平面.

所以平面.

所以为直线与平面所成角的平面角.

由，得.

由平面，得.

由，得.

所以

考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.

19. （本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.

(1)求点A，B的坐标；                  

(2)求的面积.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，

且与抛物线的对称轴不平行，则该直线

与抛物线相切，称该公共点为切点.

【答案】(1)；(2)

因为直线PA与抛物线相切，所以，解得.

所以，即点.

设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，

解得.即点.

(2)由(1)知，，

直线AP的方程为，

所以点B到直线PA的距离为.

所以的面积为.

考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.

20. （本题满分15分）设函数.

(1)当时，求函数在上的最小值的表达式；

(2)已知函数在上存在零点，，求b的取值范围.

【答案】(1)；(2)

考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.