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作者，逆蝶，哆嗒数学网群友 读读欧拉, 读读欧拉, 他是我们大家的老师———拉普拉斯(Laplace) 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler), 瑞士数学家, 是18世纪数学界最杰出的人物之一. 他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文. 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已! 数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯. 阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语, 牛顿因为苹果闻名世界, 高斯少年时就显露出计算天赋, 唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻. 然而，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字. 欧拉对于无穷级数似乎有着十分独特的见解. 关于级数神乎其技的变形, 用对数函数逼近调和级数并计算出欧拉常数γ, 利用无穷乘积得到平方倒数和为π2/6, 以及计算出所以正整数的和为-1/12(在某些特殊的意义下), 还有一些很漂亮的连分数展开式, 这些都出自于欧拉之手. 平方倒数和, 也即是 欧拉得到这个结果之后并没有就此止步, 而是继续计算了 等诸多结果， 欧拉也曾因计算出平方倒数和而名噪一时. 欧拉的成就数不胜数, 单单是级数方面就已经令人叹为观止. 我们在此只是举一些例子, 几乎完全抛弃了严格性去得到一些结果, 并且所得的结果都是对发散级数而言的. 通过一些看似美妙的结论, 来说明对发散级数进行求和的重要性.
下节会介绍与格兰迪级数非常相似的0-1级数, 它是同格兰迪级数同样有趣但又不失重要性的一类级数. 为了对某些特殊的0-1级数求和, 还会引入切萨罗和的两种推广, 并且会在文章的最后对发散级数的讨论做一个总结. |
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