第3讲函数的奇偶性与周期性1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质． 1．函数的奇偶性 (1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＋f(x)＝0]，则称f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称．f(－x)＝f(x)y (2)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________[或f(－x)－f(x)＝0]，则称f(x)为偶函数．偶函数的图象关于______轴对称． 注意：通常利用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)． 2．函数的周期性 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______．周期A．奇函数C．既是奇函数又是偶函数B．偶函数D．非奇非偶函数2．(2015年广东江门一模)下列函数中，是奇函数的是( B．f(x)＝log2xD．f(x)＝sinx＋tanxA．f(x)＝2xC．f(x)＝sinx＋1D)DA．y轴对称C．坐标原点对称B．直线y＝－x对称D．直线y＝x对称CBA．2B．1C．－1D．－2考点1判断函数的奇偶性例1：(1)(2014年广东)下列函数为奇函数的是() 答案：A(2)(2013年广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C(3)(2012年广东)下列函数为偶函数的是() 答案：D(4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 解析：∵g(x)是R上的奇函数，∴|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A. 答案：A③复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”；④抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断．②图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法；【互动探究】1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()B A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．而g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．考点2利用奇偶性求函数值 例2：若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析：方法一：由函数f(x)为偶函数，得f(x)＝f(－x)对于任意的x都成立， 即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)·(－x－4)， ∴x2+(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a.∴a－4＝4－a.∴a＝4. 方法二：由题意知，f(－1)＝f(1)，∴(－1＋a)(－1－4)＝(1＋a)(1－4)．∴a＝4. 答案：4 【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.【互动探究】2．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a) x为奇函数，则a＝____.－1解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴a＝－1.3.(2015年广东广州一模)已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f(2)的值为_______.16考点3函数奇偶性与周期性的综合应用4．(2013年广东茂名一模)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f＝()
【规律方法】判断函数奇偶性的方法：
①定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不对称,则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断,即若有f(－x)=－f(x)（或f(－x)+f(x)=0,=
－1）,则f(x)为奇函数;若有f(－x)=f(x)(或f(－x)－f(x)=0,=1),则f(x)为偶函数；
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