第6讲不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a. 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式． 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立．7．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法．1．常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式． (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立． (4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法． (5)放缩法：要证明不等式A0，|f(x)|a?f(x)<－a或f(x)>a.(2)理解绝对值的几何意义：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.D1．用反证法证明时：其中的结论“a>b”，应假设为()A．a>bB．a1的解集为_______________________．(－∞，1)∪(2，＋∞)A4．(2014年广东韶关调研)不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是______________.[1，＋∞) 5．(2013年江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．[0,4]考点1比较法证明不等式 例1：(2013年江苏)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)， 【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：①作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式.②判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论.③得出结论.又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0,2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∴2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0.∴2a3－b3≥2ab2－a2b.考点2综合法证明不等式 例2：(2013年新课标Ⅱ)设a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，证明： 【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法,用分析法论证“若A，则B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又…只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真.简写为：B?B1?B2…?Bn?A.考点3分析法证明不等式 【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化，必需以普通方程为桥梁，即将极坐标方程转化为普通方程再转化为参数方程，或将参数方程转化为普通方程再转化为极坐标方程，要注意普通方程与参数方程的等价性． 考点4利用放缩法证明不等式时应把握好度【规律方法】要证A>B，可适当选择一个C，使得C≥B，反之亦然.主要应用于不等式两边差异较大时的证明.一般的放缩技巧有：①分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子.多见于分式类不等式的证明；②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明.考点5解绝对值不等式 例5：已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围． 思维点拨：(1)只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；(2)问题等价于f(x)max，可以利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.
(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(3)＋≥.(此不等式通常称为平面三角不等式)
·≥(ibi)2.
解析：设f(x)＝|x＋1|－|x－2|，则f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝由2x－1≥1，解得x≥1，所以解集为[1，＋∞)．
(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设，得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，即3ab＋3bc＋3ac≥1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
所以＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
例3：已知α，β，且α≠β，求证：tanα＋tanβ>2tan.
证明：欲证tanα＋tanβ>2tan，
即证＋>，即只需证>.
∵∈，sin>0.
故只需证>
，
只需证cos2>cosαcosβ，
即证>cosαcosβ，
即证1＋cosαcosβ－sinαsinβ>2cosαcosβ，
只需证1>cos(α－β)，
α≠β，结论显然成立．
故原不等式成立．
例4：已知nN，求证：1＋＋＋…＋<(n>2)．
证明：<＝－，
＋＋＋…＋<1＋＋－＋…＋－＝－<.
解析：(1)原不等式等价于
或
或
解得
(2)|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，a<4.
【规律方法】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题.本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式f?x?≤6，等价于≤3，其几何意义是数轴上的点x到点－，距离之和不大于3，根据数轴可知这个不等式的解区间是[－1，2].
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