第2讲命题、量词与简单的逻辑联结词1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．4．理解全称量词与存在量词的意义．5．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．命题假命题 可以判断真假的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为条件和结论两部分；就其结果的正确与否分为真命题和______．2．四种命题之间的相互关系 图1-2-1如图1-2-1，原命题与逆否命题，逆命题与________是等价命题．否命题3．逻辑联结词p∨q4．命题p∧q，p∨q，的真假判断假假真假假假假真真假真假假真____假真____真真真真p∨qp∧qqp 命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作________，“非p”记作______．5.全称量词与存在量词及其否定 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题，可用符号简记为?x∈M，p(x)，它的否定为?x0∈M，(x0)． (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，它的否定为?x∈M，(x)．1．如果命题“p且q”是假命题，“”是真命题，那么()DA．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q一定是假命题D．命题q可以是真命题也可以是假命题2．(2014年福建)命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0)C3．对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()BA．所给命题为假B．它的逆否命题为真C．它的逆命题为真D．它的否命题为真4．(2015年广东广州调研)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是()CA．“若x>0，则x2≤0”B．“若x2>0，则x>0”C．“若x≤0，则x2≤0”D．“若x2≤0，则x≤0”考点1四种命题的关系及真假的判断例1：下列有关命题的说法正确的是() A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0” B．“若x＋y＝0,则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 C．命题“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“?x∈R，均有2x2－1<0” D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题 解析：命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，故A错；命题“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“?x∈R，均有2x2－1≥0”，故C错；命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，故其逆否命题也假，故D错；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然为真命题．故选B.答案：B 【规律方法】要理解命题之间的等价性：原命题与其逆否命题等价.逆命题与其否命题等价.当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”.【互动探究】1．给出下列命题：①若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；②若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；③若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0；④已知a，b，c是空间中三条不同的直线，若a⊥b且a⊥c，则b∥c.其否命题为真命题的序号是________．(写出所有符合题意的序号) 解析：①否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．∵Δ＝22－4q＝4(1－q)<0，∴此命题为真命题．②否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数．∵当x＝2，y＝4时，x，y不都是奇数，但x＋y是偶数，∴此命题为假命题．③否命题：若x≠1，且x≠2，则x2－3x＋2≠0，显然为真命题．④逆命题：已知a，b，c是空间中三条不同的直线，若b∥c，则a⊥b，且a⊥c.显然为假命题，∴其否命题为假命题．答案：①③考点2判断全称命题、特称命题的真假例2：下列命题是真命题的是()A．?x∈R，使得sinxcosx＝35B．?x∈(－∞，0)，2x>1C．?x∈R，x2>x－1D．?x∈(0，π)，sinx>cosx 答案：C 【规律方法】(1)要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题. (2)要判定特称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需要对集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题.【互动探究】2．下列四个命题中，为真命题的是()CA．?x∈R，x2＋3<0C．?x∈Z，使x5<1B．?x∈N，x2≥1 D．?x∈Q，x2＝3 解析：由于?x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“?x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“?x∈N，x2≥1”为假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“?x∈Z，使x5<1”为真命题； 3．若命题“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是__________________________．考点3命题的否定与否命题例3：(1)(2014年天津)已知命题p：?x>0，总有(x＋1)·ex>1，则p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．?x0>0，总有(x0＋1)ex0≤1D．?x0≤0，总有(x0＋1)ex0≤1 解析：因为命题p：“?x，d”的否定为p：“?x，d”，所以由题意，得p为“?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B.答案：B)(2)命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是(A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案：B－2≤a≤2
解析：“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”，“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”，Δ＝9a2－4×2×9≤0，－2≤a≤2.
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