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古之黃鐘定制與《律呂正論》、
《音分古義》之說法及其他
上傳書齋名：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：清?戴煦著《音分古義》二卷，本文涉及該書之﹡秬黍﹢定尺說及
其相關問題。明?朱載堉著《律呂正論》有﹡八寸律管圖說﹢，此
圖有本末倒置之弊。
提要：古有以﹡中等秬黍﹢以定律、尺之說，本文介紹此說並作簡單評
論。
關鍵詞：秬黍、樂尺、房庶、黃鐘、橫黍、黍尺、羊頭山、《樂律全
書》、《律呂正論》、龠、絫、鬴。
第1節《音分古義》作者戴煦與《律呂正論》作者
朱載堉簡介
戴煦（公元1805－1860年）清代數學家。字鄂士，號鶴墅，又號仲乙，浙
江錢塘﹝今杭州市﹞人。生於嘉慶十年﹝1805年﹞，卒于咸豐十年﹝1860
年﹞。平生致力於數學研究，與當時數學家羅士琳、徐有壬、項名達及李善蘭
等人遊。
戴煦除著有《音分古義》二卷外、尚著有《莊子內篇順文》、《元空秘
旨》、《重差圖說》、《勾股和較集成》、《四元玉鑒細草》、《廣割圓捷
法》等書，惟均未刊行。
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1860年2月太平軍攻陷杭州，戴煦與其長兄同日自盡，終年55歲。
朱載堉﹝公元1536年－1611年﹞，字伯勤，號句曲山人，年青時曾自號
?狂生?、?山陽酒狂仙客?。明宗室鄭恭王朱厚烷嫡子，出生於懷慶（今河
南沁陽）。明仁宗第二子鄭靖王朱瞻埈之後，明太祖朱元璋之九世孫，明成祖
朱棣之八世孫，明仁宗朱高熾之七世孫。
萬曆十九年﹝公元1591年﹞朱厚烷卒，諡號恭，長子?端清世子?朱載堉
襲爵，朱載堉執意不襲封鄭王，十五年後由朱見濍孫朱厚煒之子朱載壐嗣位，
而朱載堉之子孫則嗣封東垣王。
朱載堉乃明律學家、音樂家、數學家，發明?十二平均律?。其著作有
《樂律全書》、《律呂正論》、《律呂質疑辨惑》、《嘉量算經》、《律呂精
義》、《律曆融通》、《算學新說》、《瑟譜》等。
第2節以﹡秬黍﹢定尺之說
古之一尺如何釐定？多云以?中等秬黍?﹝簡稱為?中黍?﹞之廣為一
分，十分為寸。古制黃鐘之律管長九寸，是為?樂尺?﹝音樂律呂之尺﹞，加
一寸為十寸，是為?常尺?，即常用之尺。若依《宋史?志第二十四?律曆
四》所云，卻有另外說法。
古之說尚有?度?與?律?之分，度為?常尺?，律為?樂尺?，古人曾
爭論之問題為：先有度還是先有律？古代一般之說法為先有律後有度，甚至言
?度由律生?。
《宋史?志第二十四?律曆四》曰：
其後宋祁、田況薦益州進士房庶曉音，祁上其《樂書補亡》三卷，召詣
闕。庶自言賞得古本《漢志》，云：
度起于黃鐘之長，以子穀秬黍中者一黍之起積一千二百黍之廣，度之九
十分，黃鐘之長，一為一分。今文脫﹡之起積一千二百黍﹢八字，故自
前世以來，累黍為尺以制律，是律生於尺，尺非起于黃鐘也。且《漢
志》﹟一為一分﹠者，蓋九十分之一，後儒誤以一黍為分，其法非是。
當以秬黍中者一千二百實管中，黍盡，得九十分，為黃鐘之長，九寸加
一以為尺，則律定矣。
直秘閣范鎮是之，乃為言曰：
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照以縱黍累尺，管空徑三分，容黍千七百三十；瑗以橫黍累尺，管容黍
一千二百，而空徑三分四厘六毫，是皆以尺生律，不合古法。今庶所
言，實千二百黍於管，以為黃鐘之長，就取三分以為空徑，則無容受不
合之差，校前二說為是。蓋累黍為尺，始失之于《隋書》，當時議者以
其容受不合，棄而不用。及隋平陳，得古樂器，高祖聞而歎曰：﹡華夏
舊聲也！﹢遂傳用之。至唐祖孝孫、張文收，號稱知音，亦不能更造尺
律，止沿隋之古樂，制定聲器。朝廷久以鐘律未正，屢下詔書，博訪群
議，冀有所獲。今庶所言，以律生尺，誠眾論所不及，請如其法，試造
尺律，更以古器參考，當得其真。
乃詔王洙與鎮同于修制所如庶說造律、尺、龠：律徑三分，圍九分，長九
十分；龠徑九分，深一寸；尺起黃鐘之長加十分，而律容千二百黍。初，
庶言﹡太常樂﹢高﹡古樂﹢五律，比律成，才下三律，以為今所用黍，非
古所謂一稃二米黍也。尺比橫黍所累者，長一寸四分。
以上引文之?庶?指房庶。據宋?房庶﹝字曉音﹞依古本《漢志》所云，
度、量、衡之?度?起於黃鐘之長，將1,200枚中等大小之秬黍置律管中，其
長恰好90分，即9寸，此即為黃鐘之律管長，亦為黃鐘之相關數據。古本《漢
志》無言明律管直徑3分，圓周為9分﹝應為9.425分﹞。
房庶曾言?太常樂?高?古樂?五律，太常樂盛行於唐，宋繼之，至於
?太常樂?如何高?古樂?五律，現時難以知曉，大概指其律過長，經調節後
只能令?太常樂?下降三律，但仍比古樂高二律，其原因可能為宋時之所用黍
非古之?一稃二米黍?，稃者，包黍之硬殼，?一稃二米黍?指一硬殼包含兩
枚黍，今﹝包括宋時﹞之黍乃?一稃一米黍?，即一硬殼只包一枚黍，其顆粒
較大所導致。
又黍之排列有縱有橫，橫黍較窄，若以橫黍排列則尺比律長長一寸四分，
而非一寸。
9寸加1寸得10寸是為1尺。此說是?以律生尺?，而非?以尺生律?，
即以前者是而後者非。後世儒者遂以為一黍為一分，90黍為90分，引文云此
說不確。
引文中之要點乃為房庶之說，將1,200枚中等大小之秬黍置律管中，其長
恰好90分，即9寸，同時管內直徑為3分。1,200之數後世樂律家莫不奉之為
圭臬。注意以上引文無涉及律、尺、龠體積之數，有關龠之說可見諸後文，注
意此龠非樂器之龠，乃容器之一種。
其實以上之說值得商榷，因為三數1,200、90分及3分未必能同時配合。
在一寸之廣未定時，如何定九寸之長？若九寸之長為已知，即一寸之廣已知，
即?律出於尺?﹝即?以尺生律?﹞，以黍納管中，目的為測試律管之可容黍
數，其意義不大，故其容黍數未必為1,200。若九寸之廣未知，則須決定中黍之
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數，以此數之黍實於管中，方可量出管長，如此1,200枚中秬黍之數如何定
出？若取接近一千為原則，似乎取93=729或999﹝111×9，或其他9之倍
數﹞更適合，而且還須假設管之直徑不變。所以只能作如此假設：
周或以前有人先以一中黍之廣為1分，曾製律管直徑3分，圓周9分﹝應
為9.425分﹞其長90分，即9寸，適容中黍1,200枚。
後世之樂律官即以此為準則。而律加十分則成尺。例如《宋史?卷071?
志第二十四?律曆四》曰：
《漢志》，元始中，召天下通知鐘律者百餘人，使劉歆典領之。是時，周
滅二百餘年，古之律度當有考者。以歆之博貫藝文，曉達曆算，有所製
作，宜不凡近。其審度之法云：﹡一黍之廣為分，十分為寸，十寸為
尺。﹢先儒訓解經籍多引以為義，歷世祖襲，著之定法。
元始乃漢平帝年號，元始中約為公元3、4年間，召天下通鐘律者百餘人，
劉歆告知審度之法：﹡一黍之廣為分，十分為寸，十寸為尺。﹢此乃嚴從?度
出於律?之說。劉歆著重尺度，無提及律管長及1,200之中黍數。
明?朱載堉著《樂律全書》亦採用1,200枚中秬黍之說，並作驗證，《樂
律全書?卷二十二》曰：
古法律管當實千二百粒黍，今羊頭山黍不相應，則將數等驗之，看如何大
小方應其數然後為正。
朱載堉發現1,200枚中秬黍之數不合9寸及管徑3分，於是選取適當大小者
以應1,200之數及所需之尺碼。
乾隆五十一年﹝公元1786年丙午﹞年間，清?樂律典籍校官鄒奕孝評曰
﹝見《樂律全書》卷首之校篇﹞：
黃鍾容千二百黍，我
聖祖仁皇帝用三分損益法遍試之十一管，無不曶合，斯真古人所未及也。
載堉不得黃鍾真度，乃欲多截管以擬黃鍾求其合於千二百黍，豈非舍本而
逐末乎？
清聖祖乃康熙，認為古法之三分損一及三分益一﹝可參閱筆者相關文章﹞
為正確，但朱載堉不用此法，而用其?十二平均律?﹝亦可參閱筆者相關文
章﹞。另外朱載堉亦堅信1,200黍之說，若不合9寸及管徑3分，則截管之長
或選取適當大小之黍以應其數，此乃本末倒置之舉也。
清?樂律之官評《樂律全書》曰：
夫縱黍、橫黍之說，實由先定黃鍾，而以黍驗之耳。
照清樂律之官所云，先定黃鍾之長，然後以黍之縱排或橫排方式求其數，
此舉乃驗證秬黍之數，意義其實不大。
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又因《漢志》有‘一為一分’之說，蓋九十分之一，後儒斷章取義，誤以
一黍為分，《宋史》言此法?非是?﹝?非是?不是也，非也﹞。
筆者認為此說未嘗無理，蓋一中黍之廣為一分，此乃一分之準則，積九十
黍為九寸，此乃律數之本。若加10分則成10寸，此乃常尺，一般之度也，於
是?度出於律?也。
今若以房庶之說為準，即律管徑3分，圍9分﹝9.424776分﹞，長90分；
於是得律管體積636.2立方分﹝古之說法為810立方分，此數誤，見後文﹞，
而律容1,200黍，今假設此等數正確，若此，則《宋史》之資料及數據有問題
﹝見第2頁引文﹞，以下為其理由：
若律管徑3分，長100分﹝即1尺，但以?縱黍?排列﹞，於是得律管體
積706.9立方分。按比例，此律可容黍1333枚，並無1730如此多。
若律管徑3.46分，長100分﹝即1尺，但以?橫黍?排列﹞，於是得律管
體積904.2立方分。按比例，此律可容黍1705枚，不只1200如此少。
以上之?縱黍?或?橫黍?只能作線性排列，若將黍注於管中，則難以分
縱橫也。當然以上黍數之差異亦可能由於黍之大小不同而導致。以下為宋制之
律尺標準﹝整理自以上引文﹞：
律尺管徑﹝分﹞圍﹝分﹞長﹝分﹞容黍數體積﹝立方分﹞
律39(9.425)901200636.173
尺39(9.425)1001730706.858
龠927(28.274)101200636.173
?龠?亦視為律管。?圍?即圓周，括號內乃較為準確之數字。以下為律
管體積之算法：
律管體積=1.52π×90=636.173，尺管體積=1.52π×100=706.858，單位
為立方分，不過古制之律管體積為810立方分，唯此數有誤。
《律呂正論?卷之二?律管說下第六》：
古云：黃鍾九寸，空圍九分，原無積八百一十分之說，八百一十分乃劉歆
謬說，不足信也。
以上朱載堉之說有理，可參閱第3節《音分古義》之數。
又一尺之容黍數應為1333﹝以律數1200依比例算出﹞。龠之體積如律，
故一樣能容1200黍﹝見下文﹞。
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自古以來皆曰黃鐘﹝或作鍾﹞長九寸，此乃古之定制。若一寸九分，則長
八十一分。古制之混淆多在此，平常之尺為一寸有十分，是為?常尺?；但涉
及律曆，特別為黃鐘﹝包括其他律管﹞之長，則一寸只有九分，依《宋史》所
云是為?樂尺?，?樂尺?乃指音樂之尺。因古人無?九進制數?之概念，故
律管長乘以九化為分後，其餘較小之單位﹝釐、毫、絲、忽及纖﹞仍然以十進
制數表達。
律管長之說，古以有之，自先秦管仲、呂不韋以降，至漢淮南劉安、落下
閎、司馬遷、京房、劉歆等人，諸家各有說法，顯然歷朝之一分各有差異，古
時如何定一分之長？據古籍所云，其長與?秬黍?之長與寬及其排列方式有
關。
無論如何，筆者相信以中黍之廣為一分，十黍為一寸，百黍為尺。古人對
黍之排列分縱橫，筆者認為不必理會其縱橫，總之百黍為一尺。
黍乃禾本科黍屬種子形之穀物。一年生草本，株稱?黍子?，籽實稱黍，
淡黃色；磨皮後稱黍米，稱黃米，為黃色之小圓顆粒。黍米可再磨成粉製麵，
稱黃米麵。黍分粳性與糯性，粳性不黏。糯性黏，可製麵或釀酒。若以山西、
陝西省為界，則華北、東北地區產糯性黍，以西之陝西、甘肅、寧夏等地產粳
性黍。粳，粵音庚或耕，即gang1或ganng1，皆陰平聲。
至於確定度、量及衡之黍稱為?秬黍?。秬，粵音?具?，geoi6；漢語拼
音jù。秬黍，又稱?黑黍?，黍之一種。黑黍乃訂定古代度量衡之物，以產於
羊頭山附近（今山西省長治市）中等大小之秬黍籽實為基準單位。
《舊唐書?卷五十二?志第二十八?食貨上》曰：
凡權衡度量之制：度，以北方秬黍中者一黍之廣為分，十分為寸，十寸為
尺，十尺為丈。量，以秬黍中者容一千二百為龠，二龠為合，十合為升，
十升為斗；三升為大升，三斗為大斗，十大斗為斛。權衡：以秬黍中者百
黍之重為銖，二十四銖為兩，三兩為大兩，十六兩為斤。
依《舊唐書》所云，一黍之廣為一分，即一寸有十黍，一尺有一百黍。此
類以定律管之尺稱為?黍尺?，《舊唐書》之?黍尺?中之黍無提及是縱還是
橫排列。注意《舊唐書》之說無涉及律管長9寸及徑3分之數據。
《舊唐書》亦涉及1,200之數，一?龠?與一律之體積相等﹝見前文﹞，
若依《舊唐書》之說法，其他單位可以以?龠?表示，並列成下表作比較：
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唐制容量單位表
單位合龠數秬黍數體積﹝立方分﹞體積﹝立方分﹞古數
龠1龠1200636.173810
合2龠24001272.3461620
升20龠﹝10合﹞2400012723.4616200
斗200龠﹝10升﹞240000127234.6162000
大升60龠﹝3升﹞7200038170.3848600
大斗600龠﹝3斗﹞720000381703.8486000
斛6000龠﹝10大斗﹞720000038170384860000
與漢制略為不同，《前漢?律歷志》：
龠者，黃鍾律之實，躍微動氣而生物也。容千二百黍，合龠爲合，十合爲
升，十升爲斗，十斗爲斛。
故唐之一斛與漢之一斛不同，漢之一斛為十斗，即2000龠，唐之一斛為
6000龠，乃漢制之三倍。
又《孫子算經·卷上》曰：
十黍為一絫，十絫為一銖，二十四銖為一兩，十六兩為一斤，三十斤為
一鈞，四鈞為一石。
絫，古同累。絫：《說文》曰：增也，十黍之重也。
重量單位表
單位合銖數秬黍數
絫0.1銖10
銖1銖100
兩24銖2400
大兩72銖﹝3兩﹞7200
斤384銖﹝16兩﹞38400
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鈞11520銖﹝30斤﹞1152000
石46080銖﹝4鈞﹞4608000
《舊唐書》之說尚涉及重量，仍然以秬黍為單位。宋代承襲唐制，其?黍
尺?即唐之?黍尺?。《宋史?志第二十一?律曆一》曰：
自積黍而取絫。從積黍而取絫，則十黍為絫，十絫為銖，二十四銖為兩。
其意指10秬黍之重為1絫，100秬黍之重為1銖，其餘類推。
《宋史?志第二十四?律曆四》曰：
有中黍尺，亦制樂所新造也。
故以一黍之廣一分，一寸有十黍，一尺有一百黍之說為最普遍。
《宋史?志第二十一?律曆一》曰：
曰審度者，本起于黃鐘之律以秬黍中者度之，九十黍為黃鐘之長，而分、
寸、尺、丈、引之制生焉。宋既平定四方，凡新邦悉頒度量於其境，其偽
俗尺度逾於法制者去之。乾德中，又禁民間造者。由是尺度之制盡復古
焉。
有一分之長，其他單位之長即可得。以上引文之?引?為10丈。乾德乃北
宋太祖趙匡胤年號，亦為北宋之第二個年號。共計6年。乾德中，約公元965
至966年間。趙匡胤得天下後，以古制之尺度頒令四方，不合古法者是為?偽
俗尺度?，?偽俗尺度?禁用，乾德中，朝廷禁民間造尺度，以收統一之效。
《宋史?卷六十八?志第二十一》又曰：
至景德中，承珪重加參定，而權衡之制益為精備，其法蓋取《漢志》子穀
秬黍為則，廣十黍以為寸，從其大樂之尺，秬黍，黑黍也。樂尺，自黃鐘
之管而生也。謂以秬黍中者為分寸、輕重之制。
景德（西元1004年至1007年）乃北宋真宗年號。?承珪?指崇儀使劉承
珪，負責權、衡、量、度標準之官。注意所謂?樂尺?，乃?自黃鐘之管而生
也?﹝見前文﹞。
《宋史?志第二十一?律曆一》曰：
因度尺而求釐，度者，丈、尺之總名焉。因樂尺之源，起於黍而成於寸，
析寸為分，析分為釐，析釐為毫，析毫為絲，析絲為忽。十忽為絲，十絲
為毫，十毫為釐，十釐為分。
引文指出寸與分以下之細小單位，全皆10進制。
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第3節《律呂正論》之八寸律管圖說
明?朱載堉著《律呂正論?卷一?秬黍說第四》曰：
余嘗取羊頭山最大黑黍八十一粒，用糊或膠塗於尺上，縱累成尺，恰好八
寸，又一年，八十二、三粒，不滿八寸，又一年，七十八、九粒，已滿八
寸，此大約也。緣有極大過八寸者，有極小不及八寸者，故據八寸為中黍
定式也。只羊頭山一處之黍尚且如此不等，何況西漢都長安，西晉都雒
陽，其黍必不如羊頭山黍矣。劉歆、荀勗所造律、度、量、衡不佳，無佳
黍也。
朱載堉之說証明黑黍之大小，每年均略有差異。朱載堉所云之尺乃當時稱
為?營造尺?﹝見以下之引文﹞。朱載堉以八寸為固定長度，在其上黏以黑
黍，首年81粒滿八寸，次年82、83粒不滿八寸，再次年78、79粒已滿八寸，
若以81粒為標準，恰好八寸者為中黍，81粒過八寸者為大黍，81粒小於八寸
者為小黍。
朱載堉認為劉歆、荀勗所造律、度、量、衡?不佳?，因無佳黍之故也，
其實律、度、量、衡定下準則後，後世之黍佳與不佳實無關宏旨，除非朱載堉
以其認為之?佳黍?另訂準則。
若依朱載堉之說法，唐時之一寸與明之一寸相若，因八十一粒八寸，即每
粒廣8180分，即0.98765432分，有時其廣超逾一分，故一黍之廣平均為一分。
不過又據朱載堉之說法，秬黍排列方式又分縱、斜與橫，三種不同之排列
方式，在固定之長度下有不同之數目。
《律呂正論?卷一?秬黍說第四》：
上黨秬黍佳者，縱累八十一枚，斜累九十枚，橫累百枚，皆與營造尺八寸
相合也。然此佳黍，亦自難得。求得此等佳黍，然後可用。若或不滿營造
尺八寸者，慎勿悞用。歷代造律而致樂聲焦急，其失坐在黍不佳也。
又曰：
令明目少年揀取大號者，依法排尺上，若過八寸名為大黍，不滿八寸為小
黍，恰好八寸名為中黍。古所謂中黍者，此之謂也。
?明目少年?指無弱視之青少年。綜合朱載堉之說法，秬黍之最佳者，其
情況如下：81枚秬黍縱向排列、90枚秬斜排列、100枚秬黍橫向排列，全部皆
為8寸。
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以81枚縱黍、90枚斜黍及100枚橫黍排列後剛好八寸者為最佳之秬黍，稱
為中黍；以81枚縱黍、90枚斜黍及100枚橫黍排列後不滿八寸者為小黍，而以
81枚縱黍、90枚斜黍及100枚橫黍排列後排列超逾八寸者為大黍。
依朱載堉所云，縱黍較長，橫黍較短，故用縱黍81枚方可得八寸，但須用
橫黍100枚方可得八寸。將秬黍斜排，則其長短介於縱與橫之間，故其所須之
數目亦介於81與100之間，即90。
下圖見於《律呂正論?卷一?秬黍說第四》，可稱為〈八寸律管圖〉。此
圖含三圖：上圖為縱黍尺、中圖為斜黍尺及下圖為橫黍尺，注意三黍尺之長皆
為八寸。宋時已有縱黍尺及橫黍尺之說，但無提及?斜黍尺?。
其實〈八寸律管圖〉之上圖說明欠清晰，因為不應說成?縱黍尺黃鐘長八
十一分?，因其長其實為八寸，故每顆縱黍所佔之廣為8180分，即0.987654321
分，故應說成?縱黍尺黃鐘長八寸含縱黍八十一枚?。
同樣理由，中圖?斜黍尺黃鐘長九寸?亦不妥，因為每顆斜黍所佔之長為
9080分，即0.888888889分，故應說成?斜黍尺黃鐘長九寸含斜黍九十枚?。
下圖?橫黍尺黃鐘長十寸?亦誤，每顆橫黍所佔之長為10080分，即0.8分，
故應說成?橫黍尺黃鐘長十寸含橫黍一百枚?。
其實朱載堉之說有待商榷，古人以秬黍之廣以定一分之長，今朱載堉以固
定之長八寸以定秬黍之數目，有本末倒置之弊。
《律呂正論》為欽定四庫全書之一種，乾隆五十一年﹝公元1786年丙午﹞
年間，清?樂律典籍校官鄒奕孝評曰﹝見《律呂正論》卷首之校篇﹞：
即如樂律以黃鍾為本，而尺度之長短，視累黍為準，但黍有縱橫，亦有大
小顆粒，若用縱黍則較長，若用橫黍則較短，其大小顆粒亦如之，原難定
以為準也，是書所論橫黍百粒當縱黍八十一粒之說，尚為牽強。
上述引文?當?釋作?相當於?。
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《律呂正論》八寸律管圖
秬黍顆粒形狀近乎圓﹝球體﹞，排列時難以分別縱、斜或橫，朱載堉之三
種排列法不切實際，其縱81枚、斜90枚及橫100枚之說法可能屬想當然。今
重述《律呂正論?卷一?秬黍說第四》引文曰：
令明目少年揀取大號者，依法排尺上，若過八寸名為大黍，不滿八寸為小
黍，恰好八寸名為中黍。古所謂中黍者，此之謂也。
朱載堉可能曾作排列之實驗，但以大號、中號及小號之黍為對象，而非以
中號之黍作縱、斜或橫之排列，其實以大中小之排列更具說服力，即81枚大黍
長8寸，90枚中黍8寸，100枚小黍亦為8寸。
另外，古之縱橫之概念亦須清晰，南北稱縱，東西稱橫，?若用縱黍則較
長，若用橫黍則較短?，清?樂律典籍校官亦作如是說。
清?樂官評《律呂全書》並反對朱載堉之說，又為蔡元定辯解曰：
黃鍾之長九寸見於《淮南子》、《史記》、《漢書》，蓋非虞、夏、商、
周之尺，乃黃帝造律度十分之九也，以九乘之，得八十一，再以九乘之，
得七寸二分九釐，《律呂正義》前篇中所謂適合九九天數之全，非此則十
一律呂無由而生。此書不宗黃鍾九寸而拘於縱黍之長，夫縱黍、橫黍之
說，實由先定黃鍾，而以黍驗之耳。如先以黍定黃鍾，是律由度生，豈通
論乎？
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總之，朱載堉之說不合古法，古之說法為一中黍之廣為一分，九十黍即九
十分，即九寸，是為黃鐘之長，而朱載堉之法乃先有八寸之長，然後配上秬黍
數，此乃本末倒置也。
第4節《音分古義》之黃鐘定制說
戴煦《音分古義?卷上?黃鐘定制》曰：
黃鐘之制，用子穀秬黍中者以一黍之廣為二分，度其長適九十分。又中空
而容以黍適一千二百。又其中空體積為八百一十分，其空圍面積為九分，
四者互相表裏，一不合則諸數皆虛。
一黍之廣為二分，乃唐時之二倍。九十分只須黍四十五粒。黃鐘管中空，
適容黍1200粒﹝此乃古制之數，見前。一黍之廣為一分，若為二分，應無如此
大之黍，故原文之?二分?未知是否?一分?之誤？﹞。為配合體積為810
﹝立方分﹞之說，管之截面面積為9方分，管長90分，方可得之。
管之截面面積為9方分，管長90分，故其體積為9×90=810﹝立方
分﹞，在管長為90分之情況下，此乃唯一之法得前文所云之810立方分。
戴煦在其《音分古義?卷上?黃鐘定制》註明黃鐘之律管徑為三分三釐八
毫五絲一忽三微七纖，即3.385137分。黃鐘管長90分，其橫截面圓面積為9方
分，若祖沖之之圓密率為113355，即3.14159252，又若半徑為r，則πr2=9，則
r2=?9=9×355113=2.864788732，開方得
r=1.692568678。
故圓直徑2r=2×1.692568678=3.385137357﹝分﹞。
即直徑為三分三釐八毫五絲一忽三微七纖，此乃《音分古義》之數。黃鐘
管橫截面圓面積9方分乃預設之數值。
管長90分、容黍1200粒、體積810立方分及橫截面圓面積為9方分，此
四數互有關係，若其中一數錯，其他數皆錯，故曰?一不合則諸數皆虛?。
戴煦乃數學家，數據正確，唯一疑問為：戴煦有否以1200黍實其所言尺碼
之管中以驗證之？戴煦用管徑長3.385分，古制為3分，兩管皆長90分，但直
徑不同，故兩者所容秬黍數必不相同，但戴煦仍然用黍數1200，顯然不妥。
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又依《舊唐書》所云，容黍1200粒稱為一?龠?﹝或作籥，容器之一種，
見前文﹞。
《音分古義》又曰：
如周之累一千二百八十籥以為鬴，而知鬴之積為一百O三萬六千八百分，
則以一千二百八十除之，即知黃鐘之積為八百一十分。
如漢之累二千籥以為斛，而知斛之積為一百六十二萬分，則以二千除之，
即知黃鐘之積為八百一十分。
《音分古義》指一鬴容1280籥，此乃周制，鬴之積為1036800立方分，
1036800÷1280=810。又1620000÷2000=810。而810為黃鐘之積。
鬴之體積算法應如此：
管長90分、容黍1200粒、體積810立方分，是為1籥，1280籥為1鬴，
故1鬴體積為810×1280=1036800。
若依唐制，1200籥=600合=60升=6斗。依《音分古義》之說，則
1280籥=640合=64升=6斗4升。此乃鬴之容積﹝亦可見以下以籥為單
位之表﹞。
《周禮?冬官考工記第六》：
量之以為鬴，深尺，內方尺而圜其外，其實一鬴；其臀一寸，其實一豆；
其耳三寸，其實一升；重一鈞，其聲中黃鐘之宮，槩而不稅。
槩，《說文》釋作?斗斛?。疏：槩，所以勘諸廛之量器，以取平者。
中，合也，其意指黃鐘宮之聲乃其他律呂之繩準；稅，多也。槩乃持平之器，
絕不多也。
鄭氏﹝指漢?鄭玄﹞注：
以其容為之名也，四升曰豆，四豆曰區，四區曰鬴。鬴，六斗四升也，鬴
十，則鍾方尺，積千寸；於今粟米灋少二升八十一分升之二十二，其數必
容鬴，此言內方耳。圓其外者，謂之脣。
故鬴，周已有之容器，其深一尺，內為一方尺，其體積為1立方尺﹝即
1000立方寸，1000000立方分﹞。據鄭注，其容積比漢時﹝鄭注之謂?今?﹞
少28122升。因1升為16200立方分﹝見下表﹞，故28122升相當於36800立方
分，即0.0368立方尺，粟米灋﹝同?法?﹞即以粟米灌注鬴中，在重量相同之
情況下，一鬴若為6斗4升，則古制為6斗18159升﹝即6斗4升減28122升﹞，
體積為1–0.03681=0.9632﹝立方尺﹞。臀，疏：釋曰此謂鬴之底著地者。
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鄭氏注一鈞為三十斤。若依鄭氏注，一區為一斗六升。今將第5頁之表增
添數列如下：
單位合龠數秬黍數體積﹝立方分﹞體積﹝立方分﹞古數
龠1龠1200636.173810
合2龠24001272.3461620
升20龠﹝10合﹞2400012723.4616200
斗200龠﹝10升﹞240000127234.6162000
大升60龠﹝3升﹞7200038170.3848600
大斗600龠﹝3斗﹞720000381703.8486000
斛6000龠﹝10大斗﹞720000038170384860000
豆80龠﹝4升﹞9600050893.8464800
區320龠﹝4豆﹞384000203575.36259200
鬴1280龠﹝4區﹞1536000814301.441036800
一斗六升=200龠+120龠=320龠，故一區為一斗六升。
六斗四升=1200龠+80龠=1280龠，故一鬴為六斗四升。注意鬴之體積
為1036800立方分，如戴煦文之所示。
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