高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十二 三视图及空间几何体的计算问题

专题十二  三视图及空间几何体的计算问题

1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．球                B．三棱锥 

C．正方体          D．圆柱

答案：D　[球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.]

2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)．

A．28＋6               B．30＋6

C．56＋12             D．60＋12

答案：B　[该三棱锥的直观图，如图所示，

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

其中侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.故S_△PAC＝×5×4＝10；S_△ABC＝×5×4＝10；PC＝5，所以S_△PBC＝×4×5＝10；由于PB＝＝＝，而AB＝＝，故△BAP为等腰三角形，取底边AP的中点E，连接BE，则BE⊥PA，又AE＝PA＝，所以BE＝＝6，所以S_△PAB＝×2×6＝6.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋6＝30＋6.]

3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)．

A.                   B. 

C.                   D.

答案：A　[在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥的体积为××2＝.]

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

解析　利用三视图得几何体，再求表面积．由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.

答案　38

在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题．试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题．

该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.

必备知识

正棱锥的性质

侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．

三视图

(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．

(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．

几何体的切接问题

(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．

(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题．

 

必备方法

1．几何体中计算问题的方法与技巧：①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段．

2．求体积常见技巧

当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．

(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．

(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．

(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.

常考查：①三视图的识别与还原问题；②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题．主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】? 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　　)．

A. cm³

B. cm³

C．2 000 cm³

D．4 000 cm³

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] 画出直观图后求解．

B　[此几何体的图为SABCD，且平面SCD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD的中点E，SE＝20 cm，V_SABCD＝S_?ABCD·SE＝ cm³.故选B.]

 解答此类题目时：

(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；

(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；

(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．

【突破训练1】

如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3，则a＝________.

 

解析　由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，∴V＝3×＝3?a?.

答案　

此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的表面积或体积，试题以客观题为主，多为容易题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】? 如图所示，

[来源:学科网]

四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD.

(1)求线段PD的长；

(2)若PC＝R，求三棱锥P -ABC的体积．

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] (1)利用BD是圆的直径可知∠BAD＝90°，再利用△ADP∽△BAD求解．

(2)先通过计算证明PD²＋CD²＝PC²，则可知PD⊥面ABCD，再由S_△ABC＝AB·BCsin ∠ABC.可求解．

解　(1)∵BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°，

又∵△ADP∽△BAD，∴＝，

DP＝＝＝＝3R.

∴DP的长为3R.

(2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos 45°＝R，

∵PD²＋CD²＝9R²＋2R²＝11R²＝PC²，

∴PD⊥CD，又∠PDA＝90°，AD∩CD＝D，

∴PD⊥底面ABCD，

则S_△ABC＝AB·BCsin(60°＋45°)

＝R·R×＋×＝R²，

所以三棱锥PABC的体积为

V_PABC＝·S_△ABC·PD＝·R²·3R＝R³.

 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．

【突破训练2】如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图．已知CF＝2AD，侧(左)视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．求该几何体的体积．

解　

如图，取CF的中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，AD∥CP，且AD＝CP.

四边形ACPD为平行四边形，∴AC∥PD.

∴平面PDQ∥平面ABC，该几何体可分割成三棱柱PDQCAB和四棱锥DPQEF，[来源:学科网ZXXK]

∴V＝V_{三棱柱PDQCAB}＋V_DPQEF＝×2²sin 60°×2＋××＝3.

该类问题命题背景宽，常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】? 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)．

A．πa²  B.πa²  C.πa²  D．5πa²

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] 确定球心的位置，寻找直角三角形，通过直角三角形求球的半径．

B　[设三棱柱上底面所在圆的半径为r，球的半径为R，由已知r＝·a＝a.

又∵R²＝r²＋a²＝a²＋a²＝a²，

∴S_球＝4πR²＝4π·a²＝πa²，故选B.]

 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．

【突破训练3】 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于，则球O的表面积等于________．

【突破训练3】 解析　

如图，设O′为截面圆的圆心，设球的半径为R，则OM＝，又∠O′MO＝45°，∴OO′＝R.在Rt△O′OB中，OB²＝O′O²＋O′B²，∴R²＝＋，∴R²＝2，∴S_球＝4πR²＝8π.

答案　8π

等价与转化在求几何体体积中的应用

1．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解．

2．求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求．

【示例】?

如图，在三棱锥P -ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.

(1)证明：AB⊥PC；

(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P -ABC的体积．

[满分解答]　(1)因为△PAB是等边三角形，[来源:学,科,网Z,X,X,K]

所以PB＝PA.

因为∠PAC＝∠PBC＝90°，

 

PC＝PC，

所以Rt△PBC≌Rt△PAC，

所以AC＝BC.

如图，取AB中点D，连接PD、CD，

则PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD＝D，

所以AB⊥平面PDC，PC?平面PDC，

所以AB⊥PC.(6分)

(2)作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.

因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.

由已知，平面PAC⊥平面PBC，

故∠AEB＝90°.(8分)

因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，

所以Rt△AEB≌Rt△BEP，

所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．

 

由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.

因为PC⊥平面AEB.

所以三棱锥P -ABC的体积

V＝·S·PC＝.(12分)

老师叮咛：本题难度中档，第(1)问要证线线垂直，则需转化为证线面垂直；第(2)问求三棱锥P -ABC的体积，可转化为求以△ABE为底，PC为高的两个三棱锥的体积.

【试一试】

[来源:Zxxk.Com]

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱锥Q -ABCD的体积与棱锥P -DCQ的体积的比值．

(1)证明　由条件知四边形PDAQ为直角梯形．

因为QA⊥平面ABCD，

所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.

又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.

(2)解　设AB＝a.

由题设知AQ为棱锥QABCD的高，

所以棱锥QABCD的体积V₁＝a³.

由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，

而PQ＝a，△DCQ的面积为a²，

所以棱锥PDCQ的体积V₂＝a³.

故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.