人生有两大无奈，曾经朝夕相处而今形同陌路，曾经刻骨铭心最后忘得一干二净。如果你此刻说不出函数的定义，则两大无奈集于一身，可悲可叹。无论你背了多少遍、学了多少种函数，最终还是相忘于江湖。
人类的记忆便是如此苍白，若要长记久牢，还得理解其本质和意义。作者荒诞的人生梦想就是理解世界的本质，而初中数学中的一些概念，正是理解本质所需的基础。作者会带你看抽象画、看星系碰撞、看人生预测，尽他最大的努力，让你十年所学不至于成为没有意义的一段过往。耐心读下去会渐入佳境，剧情的发展也会出人意料。
一、抽象（abstract）
从抽象的概念开始讲起，因为这是理解函数的思维基础。
如果一个语词有其温度，那么抽象给人的感觉是冰冷的。它常常出现在人迹罕至的地方，比如学术论文的摘要（abstract），数学的抽象概念，和看不懂的抽象画，至少它尚未有机会像“哲学”般脱胎换骨。
和日常生活稍微接近一点的就是抽象画了，但这一通俗说法其实是有误解的。对艺术史有所了解的人都知道，当代艺术有印象派、野兽派、立体主义、表现主义、超现实主义等等流派，但就是没有抽象派。为什么？因为抽象画谁都会啊！不信你画个太阳试试？难道不是 ? 这样的？
但太阳真的是一个长毛的圈吗？显然不是，那你画的究竟是什么？是你自己也没有意识到的对三维球体和光线的二维抽象！
所以抽象画，我们从小就会，抽象本身一点也不高冷，我们把复杂的简化、有共性的打包，这就是抽象，它是我们人类赖以生存的思维方式和高效率的信息传递方式。除了绘画，文字的源起也是从“抽象”的象形字，再到希腊字母α、β、γ，后者不仅仅是文字，更是“代数”——对数字的代替和抽象。
如果你的娃还没上初中，你可以通过让他自己画画的方式，理解什么是抽象，这样他就有了和你不一样的数学起点。
二、函数（function）
函数的“函”字长得很丑，再加上定义：“一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域”，这么长一串，小学生是会被吓哭的好吗？
如果你因为曾经的心理阴影面积过大而跳过了上面这段定义，不妨看看下面的抽象画，来理解函数的定义：
函数就是这么一个神奇的盒子，它的功能（function）是给它一些输入（input），它就会给你 唯一 的输出（output）。就这么简单！
在某些教材中，可能考虑和后续的一次方程接轨，所以教的函数表达式是y=2*x+1，而不是更为标准的表达式f(x)=2*x+1，标准表达式用f(x)替换了y，更利于形象的记忆，f就是函数英文function的首字母，而f( )就是一个开口的盒子，可以和上图类比：
好了，函数的定义介绍完毕，现在是提问环节！
如果你是数学很好的同学，你可能会问：函数定义中输出为何必须是“唯一”呢？为何同一个x不能有两个y值对应，而一个y可以对应多个x呢？x表示不服。
如果你数学不好，你更有可能会问：函数的定义能吃吗？学了小学数学会买菜算价不就可以了吗？
那些年你错过的，其实是没有人来回答你的这些问题，没有人告诉你这些知识的来龙去脉，它们的应用和意义。函数是对世界上各种关系的抽象，其最根本的用途是根据已知量来推测未知量，函数的意义在于预测（prediction）。
比如，你的老朋友小明买一个苹果2元钱，买两个苹果4元钱，那么你要预测他买三个苹果需要多少钱的时候，就可以建立一个函数，来对小明买苹果的个数和总价之间的关系进行抽象，它的输入是苹果的个数，输出的是有且仅有一个的总价。
如果商家搞促销，三个苹果5元钱，那么函数可能是非线性的；如果商家是个颜控，买家长相越好看，单价越便宜，那么函数就是多元函数，输入是长相和苹果数量。无论关系怎么复杂，无论输入有多少个，输出都是 唯一 的，因为未来只有一个。
三、预测（prediction）
预测的主旋律是变化（change），没有随时间的变化就没有预测可言，这就是函数的输入在课本上称为变量（variable）的原因。
接下来作者要带你走过古人来时的路，看看如何预测行星的运动（motion），想象着，没有函数的日子，古人会是怎样的寂寞。
17世纪英国的一家咖啡馆中，三个当世杰出的科学家激烈地探讨一个问题，为何行星运动的轨道是椭圆而不是正圆，用什么样的函数来预测行星的运动呢？其中一人是后来冠名哈雷彗星的哈雷，他为了这个问题专门拜访了提出牛顿三定律的牛顿，并资助他出版了揭示其原理的《自然哲学的数学原理》。按下两人的友（ji）情故事不表（感兴趣的读者可以看纪录片《宇宙时空之旅》第三集），我们来重温一下他的三大定律，你可以先试试回忆一下第一定律。
如果你根本想不起来，或者只记得最简单的第三定律“作用力和反作用力”，那还是说明一个老问题，你没有理解它们的本质和意义，你甚至不知道为什么三大定律会这样排序，第三定律简洁优雅，为何不能排在前面？第三定律不服。
任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。——牛顿第一定律
牛顿第一定律之所以是第一定律，因为它回答了力是什么（What？）：“力是物体运动状态发生变化的原因（Force changes motion）”。牛顿第二定律就是描述力是怎样（How？）改变物体的运动，而第三定律只是补充说明力在何时何处（When & Where ？）发生。
第一定律告诉我们，要想知道行星为何会有距离太阳近速度快、距离太阳远速度慢的运动变化，就需要知道所受到的力——万有引力。
第二定律告诉我们，受万有引力影响下行星的运动轨迹就是椭圆。
第三定律告诉我们，万有引力是相互作用的，我们是彼此吸引的o(#￣▽￣#)o 。
定量的预测不是这么说说简单，需要将这些“自然哲学”通过函数抽象成“数学原理”，本节中出现最多的字眼“变化”，在数学中是如何表达的呢？
变化是相对于时间的变化，时间是time，取首字母t，变化的差异是difference，取首字母d，衡量X在一段时间内的变化情况，可以表达成"dX/dt"，这正是处理变化的数学工具——微积分（Calculus）。
运动（速度）是物体位置的变化 v = ds/dt
加速度是物体运动（速度）的变化 a = dv/dt
力是物体运动变化的原因 F = m*a = m*dv/dt
如果质量（m）和力（F）已知，那么即可根据函数关系式，输入初始时间下的运动状态，得到唯一输出——物体运动的轨道，想知道具体解法得学习微分方程。怎么样？从初中数学到高中物理再到大学数学，了解了它们的来龙去脉及其背后探索宇宙、预测未来的人性诉求，是否多了些学习的动力呢？本文实是一篇给娃启蒙的好教材呢。
有了牛顿三定律和基于函数的抽象运算，我们甚至可以预测出星系的运动，几十亿年后，我们的银河系将与仙女座交汇，届时可以欣赏到几千颗恒星上演的宇宙星光秀。
相对于人类的渺小，从你学的那点初中数学着手，就能做出如此宏伟的预测，你是不是有点激动呢？
四、混沌（chaos）
本文以无奈开篇，也将以遗憾收尾。
遗憾的是，你所预想的美好未来它最终并没有发生……即便有朝一日人类可以用函数来抽象万物之间的联系，我们也无法做出完美的预测。为什么？
继牛顿开创经典力学之后，越来越多的物理学家信奉机械决定论——只要建立了运动方程，就可以依据初始条件来确定随后的运动。其中最著名的是拉普拉斯的假设：
“我们可以把宇宙现在的状态视为其过去的果以及未来的因。如果一个智者能知道某一刻所有自然运动的力和所有自然构成的物件的位置，假如他也能够对这些数据进行分析，那宇宙里最大的物体到最小的粒子的运动都会包含在一条简单公式中。对于这智者来说没有事物会是含糊的，而未来只会像过去般出现在他面前。” ——拉普拉斯
后人将假设中的智者，称为“拉普拉斯妖”，他最超凡的能力，是能同时知道所有物质的位置和运动状态，丝毫不差！
在这里透露一个小秘密，其实作者本人是妖魔附体，修炼千年之后和拉普拉斯妖在判断初始状态上只有0.00000001的丝毫之差！先别忙着膜拜作者，且看他在预测未来上究竟能有多大本事。
如果有一个函数是可以用来预测一年后的人生，那么18岁的你作为输入，输出的是19岁的你，再将19岁的你作为输入，得到的是20岁的你……这样的循环推演在数学上称为“迭代”，预测未来就是反复迭代的过程。如果用抽象画理解，就是再加上一笔：
如果预测人生的函数非常简单，简单到初中生可以自己算：f(x)=4x(1-x)，那么在预测未来的本事上，拼的就是对你x岁时的初始状态的精准把握上了。
作者和拉普拉斯妖的斗法开始了，从你0.1岁开始做未来40年的预测。由于作者能力不济，捕捉到的是你0.10000001岁时的状态。365*24*60*60*0.00000001=0.31536，其影响，相当于你晚出生那么零点几秒。将x=0.1和x=0.10000001分别作为函数的输入，迭代40次，让我们看看这晚出生零点几秒能差到哪去？
计算很简单，你可以自己重复这一结果，也可以虐待你的娃用手算去体验一下人生。
很明显，零点几秒之差，在20岁之前看不出什么区别（绿色线与紫色线基本重合），但20岁之后，可以肯定，这完全是两种不同的未来了。作者的千年修为也看不穿二十年。
所以，遗憾的是没有人能达到“拉普拉斯妖”那般对初始状态的完全掌握（上帝也不行，详见海森堡测不准原理），哪怕差个0.00000001，也会在一段时间之后出现完全不一样的预测结果。这种系统对初始条件的敏感，有一个广为人知的俗称——“蝴蝶效应”——“南美洲的蝴蝶扇一下翅膀，就引起了北美洲的一场龙卷风"。
作者趁此机会更正大众对蝴蝶效应的一种误读：并不是蝴蝶扇翅膀就能引起龙卷风这种四两拨千斤的效应。而是用蝴蝶扇翅膀比喻”微小”的初始条件差异，用龙卷风比喻“显著”的对未来预测的差异，是失之毫厘差之千里的效应。
对初始条件敏感的动力系统，就是混沌（Chaos）系统。人生应该是一个混沌系统吧，不然一张车票、一段对话、一时兴起，怎么就能有改变命运的能力呢？可能当年你对牛顿三定律少了那么点理解，高考差个0.5分就读了完全不同的大学呢？作者写下一篇重温初中数学的文章，或许也能影响一些青年读者产生对数学和物理的兴趣呢？
在混沌系统中，看似随机的（random）事件背后，都有注定的（deterministic）函数，你能看到此文也许是命中注定，而分享或点赞，也许能改变一场未来。
输入是因，输出是果，函数是缘，
世界的本质抽象可寻，
世界的意义混沌未明。
