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高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M?N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有 （A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数f(x)? e1 x x?1 ,则 ?1 （A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. x?13．设f(x)=x 1 ，x≠0,1,则f[f(x)]= ( ) 1X 1 A） 1－x B） 1?x C） D） x 4．下列各式正确的是 ( ) 1A） lim(1+ )x x?0 x =1 B） lim(1+ x?0 1)x x =e 1C） lim(1－ )x x?? x 1=-e D） lim(1+ )x x?? x =e x?ax )?9，则a?( )。 x?a A.1； B.?； C.ln3； D.2ln3。 x?1x()?( ) 6．极限：lim x??x?1(5．已知limx?? A.1； B.?； C.e?2； D.e2 x3?=（ ）lim7．极限：x 3?? A.1； B.?； C.0； D.2． 8．极限：xlim x?1?1=（ ） 12 A.0； B.?； C ； D.2． 9. 极限：xlim(x2?x?x)=（ ） ??? A.0； B.?； C.2； D. sinxlimtanx?10．极限: x=（ ） 3?021 2 ． A.0； B.?； C. 116 ； D.16． 二. 填空题 xsin11．极限limx?? 2x . x2?1 arctanx12. lim x x?0 =_______________. lim[f(x)?f(x?)]=_______________； 13. 若y?f(x)在点x0连续，则x?x sin5x ___________； 0x 2 (1?)n?_________________； 15. limn??n 14. xlim?x x2?1 16. 若函数y?2，则它的间断点是___________________ x?3x?2 17. 绝对值函数 f(x)?x? x,x?0;? 0,x?0;??x,x?0.? 其定义域是 ,值域是 1,x?0; 18. 符号函数 f(x)?sgnx???0,x?0; 1,x?0.? 其定义域是 ，值域是三个点的集合 19. 无穷小量是20. 函数y?f(x)在点x0 连续，要求函数y ? f (x) 满足的三个条件是 三. 计算题 (21.求limx?0 1?x1 ). ?x x1?e 22.设f(ex?1)=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim(3－x) x? 2 x?5x?2 ; 24.求lim( x? ? x?1x ); x?1 25.求lim x? 0 sinx2 tan2x(x2?3x) x?ax )?9，求a的值； x?a n n 1n (26. 已知limx?? (1?2?3) 27. 计算极限limn?? 28. f?x?? x?2 lg?5?2x?求它的定义域。 x?1 29. 判断下列函数是否为同一函数： ⑴ f(x)＝sin2x＋cos2x g(x)＝1 x2?1 ⑵ f(x)? g(x)?x?1 x?1 ⑶ f(x)?x?1? g(x)?x?1 2 ⑷ f?x??x?12 g(x)?x?1 ⑸ y＝ax2 s＝at2 30. 已知函数 f(x)＝x2-1， 求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2) 3n2?5n?1 31. 求 nlim ???6n2?4n?732. 求 nlim??? 1?2???n n2 (n?1?n) 33. 求 nlim??? 2n?3n 34. 求 nlim ???2n?3n 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限 sinx,x?0 x?1,x?2? ⑴ y?? x?2 ⑵ y??1 x?0 x,x?2x,x?0???3 1 x?3x?3 37. lim x?3x2?9 36. lim x?3 38. lim x?0 x?1 x 2x3?x2?1 39. 求当x→∞时，下列函数的极限y?3 x?x?12x2?x?1 40. 求当x→∞时，下列函数的极限y?341. x?x?1sin3x x1?cosx 42. lim 2x?0x 41. lim x?0 1? 43. lim?1???n?? n? n?3 1? 44. lim?1?? ?n?? n? 2n (1?45. limx?? 1x) kx x 1? 46. lim?1?? ?x?? x? 47. lim?1?kx x?0 1x 48. 研究函数在指定点的连续性 sinx ,x?0? f(x)??x x0＝0 1,x?0 49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x)?50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 1 ,x＝1 x?1 1 ,x?0 ，x＝０ f(x)??x 0,x?0 51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 x2,x?0 ，x＝０ f(x)?? 1,x?0 52. 证明f(x)＝x2是连续函数 53. lim x?0 ln(1?x) x x2?1???lim?lnx54. x?1?? x?1?? 55. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根 sinxlimtanx?56. x 3?0257. 试证正弦函数 y = sin x 在(-∞, +∞)内连续。 x，x?0；58. 函数f (x) = ?x? = ?在点x = 0处是否连续？ ? x，x?0 xsin1，x?0； 59. 函数f(x)=? 是否在点x?0连续？ ?0，x?0 x. 60. 求极限 limx?0答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x)??0f(t)dt?C，且 F?(x)?f(x). x 当F(x)为偶函数时，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即 f(?x)?f(x)，也即f(?x)??f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x) 为奇函数，则?0f(t)dt为偶函数，从而F(x)??0f(t)dt?C为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=x2, 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多 次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. f(x)??，所以x=0为第二类间断点； 且 limx?0 xx 12 limf(x)?0，limf(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). x?1? x?1? xx???lim???. 从而limex?1???，【评注】 应特别注意：lim，??? x?1x?1x?1x?1x?1 x x?1? lime x x?1 0. 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 1原式 = lim(x?1?1)(x?1?1)?lim?. （有理化法） x?0x?0 x(?1)?1?19 D 10 C x?1x2tanx(1?cosx)1解 原式?lim. ▌ ?lim?x?0x?0(2x)38316 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例 原式?limx?0 x?x?0 . (2x)3 二.填空题 11. 12. 13. 14 . 15 . e?2 16. x?1,2 3 e 17 .(??,??) [0,??) 18. (??,??) {?1,0,1} 20 . ② x→x0 时极限 x?x0 limf(x) 存在； x?x0 ③ 极限值与函数值相等，即 limf(x)?f(x0) 三. 计算题 21 . 【分析】 "???"型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. x?x2?1?e?x1?x1x?x2?1?e?x 【详解】 lim(=lim ?)?lim2?xx?0x?01?e?xx?0xxx(1?e)1?2x?e?x2?e?x3 . =lim=lim x?0x?02x22 22. f(x)=3lnx+1 x＞0 23.24.e 25. 26. ln3; 27. 3 28. 解：由x＋2≥０解得x≥-2 由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为 ｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2） 2 1 6 29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的 字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x， f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99 3n2?5n?15 3??223n?5n?1?lim?lim31 . 解：nlim22???6n?4n?7n???6n?4n?7n???6??2 nn 1 2 n2 11?lim2 3?0?01n???n???n?????? 11 lim6?4lim?7lim26?0?02n???n???nn???nlim3?5lim n(n?1) 2 1?2???nn?n1?lim?lim? 32. 解：nlim222???n???n???nn2n2(n?1?n)?lim33 . 解： nlim???n??? 1 lim n?1?nn??? (n?1?n)(n?1?n) n?1?n1n???n 0 n?1lim?lim1n???nn??? lim nlim??? 1 n?n?1 1n 22 ()n?1lim()n?lim1 2?30?1n???n????lim????1 34 . 解：nlim???2n?3nn???nn0?1()?1lim()?lim1 n???3n???3 n n 35 . 解：⑴ limy?2,limy?3 ，lim?y?lim?y 因为 x?? 2x?2x?2x?2 所以 函数在指定点的极限不存在。 1 y?limy y?sin0?0,limy??0?0，lim ⑵ 因为xlim?? x?0x?0?0?x?0?3 y?0 所以 函数在指定点的极限limx?0 36 . lim1111x?3 lim???x?3x?3limx?lim33?36 x?3 x?3 x?3x?311 lim?lim? x?32x?3x?3x?3x?3x?36 37 . x?9 lim 38 . lim x?0 (?x?1)(?x?1)?x?1?x?11 lim?lim?lim?? x?0x?0x2x(?x?1)x(?x?1)x?0?x?1 3 2 11 3 39 . lim2x3?x?1?lim x??x??11x?x?1 1?2?3 xx 11 lim2?lim?lim3x??x??xx??2?0?0 2 111?0?0 lim1?lim2?lim3x??x??xx??x 211?2?32 x?1 40. lim2x?lim x??x3?x?1x??11 1?2?3 xx 1112lim?lim2?lim3x??xx??x??0?0?0 0 111?0?0 lim1?lim2?lim3x??x??xx??xsin3xsin3x lim?3?3 41. lim x?0x?0x3x 2? xx?? 2sin2sin??1?cosx?1?lim??1 ?lim42. lim x?0x?0x2?x?0x?2x2 4()2??22?? 2 1 lim(1?)nn???e?e 43. = 11 lim(1?)3n??n 1?n???1?n? 44. ?lim??1?????lim?1????e2 n??n?? n?????n??? 2 2 1?1??45. ?lim??x?????kx? kx 1? 1??????limx?? kx? 1 1k kx 1 ek ?? 1k x 1?? 46. ?lim??1??? x?? x????x 1????lim?1???x???x?????? 1 e?1 k 47. ?? ?lim1?kx?e??x?0?? 1 kx k 48.解?limf(x)?lim x?x0 x?0 sinx 1x 而f(x0)?f(0)?1?limf(x)?f(0) x?0 函数在x?0处连续。 49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点 f(x)?0但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点 51. 间断，limx?0 52. 证明：?x0∈(－∞,＋∞) limf(x)?limx2?(limx)2?x0，f(x0)=x02 因为 x?xx?xx?x 2 limf(x)?f(x0) 所以 x?x 因此，函数f(x)＝x是连续函数。 2 53. 解:54. 解: ln(1?x)lim?limln(1?x)x?lnlim(1?x)x?lne?1 x?0x?0x?0x x2?1??lim??lnx??lim??x?1?lnx??2?0?0 ?x?1 x?1?x?1 11 55 . 证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3， 则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0 根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0， 则x＝ξ就是方程的根。 56. x?1x2 tanx(1?cosx)1原式?lim ?lim?x?0x?0(2x)38316 57. 证 ?x?(-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量 Δy = sin(x+Δx)-sin x = 2sin?x?cos(x??x). ∵ 0??y?2sin?2? x ，再由x的任意性知正??x，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0） 弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。 58. 解 注意f (x)是分段函数，且点x?0两侧f表达式不一致。 (?x)?0， 解法1 ∵f (0 - 0) =lim? x?0 x?0， ∴ limf(x)?0. f (0 + 0) =xlim?0?x? 又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = ?x?在点x = 0处连续（图1—19）。 解法2 ∵limf(x)?lim(?x)?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0左连续； ?? x?0 x?0 f(x)?limx?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0右连续，所以函数在点x?0连续。又∵ xlim ?0?x?0? 59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。 M?0 limf(x)?limxsin1?∵ x 0?f(0)， ?x? ∴ f(x)在点x = 0处连续 60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t) ，当x→0时，t→0, ∴ 原式?lim? t 1t1?lim??lna. 0at?0logealoga(t?1) x?1，这表明x→0时，x ? ex - 1. 特别地，limx?0 56. x?1x2tanx(1?cosx)1原式?lim ?lim?x?0x?0(2x)38316 57. 证 ?x?(-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量 Δy = sin(x+Δx)-sin x = 2sin?x?cos(x??x). ∵ 0??y?2sin?2??x，再由x的任意性知正??x，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0）弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。 58. 解 注意f (x)是分段函数，且点x?0两侧f表达式不一致。 (?x)?0， 解法1 ∵f (0 - 0) =lim?x?0 x?0， ∴ limf(x)?0. f (0 + 0) =xlim?0?x?0 又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = ?x?在点x = 0处连续（图1—19）。 解法2 ∵limf(x)?lim(?x)?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0左连续； ??x?0x?0 f(x)?limx?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0右连续，所以函数在点x?0连续。又∵ xlim ?0?x?0? 59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。 M?0limf(x)?limxsin1?∵ x??0?f(0)， ?x?00 ∴ f(x)在点x = 0处连续 60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t) ，当x→0时，t→0, ∴ 原式?lim?t1t1?lim??lna. 0at?0logealoga(t?1) x?1，这表明x→0时，x ? ex - 1. 特别地，limx?0 |
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